« Si l'on découpe un carré dans un coin d'un rectangle, son aire et son périmètre diminuent tous les deux. »

Faux : l'aire diminue, mais le périmètre ne change pas. — Exemple : un rectangle de 5 cm sur 4 cm (aire 20 cm², périmètre 18 cm) dont on retire un carré de 2 cm dans un coin : aire 20 − 4 = 16 cm², mais les deux côtés retirés sont remplacés par deux côtés de même longueur, et le périmètre reste 18 cm.

« Un rectangle et un carré peuvent avoir la même aire sans avoir le même périmètre. »

Vrai : 9 cm sur 4 cm et 6 cm de côté donnent 36 cm² tous les deux. — Le rectangle de 9 cm sur 4 cm a un périmètre de 2 × (9 + 4) = 26 cm, le carré de 6 cm de côté 4 × 6 = 24 cm : même aire, contours différents.

« 2,5 dm² = 25 cm². »

Faux : 2,5 dm² = 250 cm². — D'une unité d'aire à la suivante, le facteur est 100 et non 10 : 2,5 × 100 = 250.

« Un terrain carré dont chaque bord mesure 100 m couvre exactement un hectare. »

Vrai : 100 × 100 = 10 000 m² = 1 ha. — L'aire du carré vaut 100 × 100 = 10 000 m², et c'est exactement la définition de l'hectare.

« Tous les triangles construits sur un même segment [AB], avec leur troisième sommet sur une droite parallèle à (AB), occupent la même surface. »

Vrai : l'aire ne dépend que de la base et de la hauteur. — L'aire vaut (b × h)/2 : si b et h sont les mêmes, le résultat est le même, quelle que soit la forme du triangle.

Ligne 1 — la grandeur calculée n'est pas celle demandée.

On demande le tour : 2 × (6 + 2,5) = 17 cm. — 15 cm² est l'aire du rectangle, d'ailleurs écrite avec une unité d'aire ; un périmètre est une longueur.

Ligne 2 — le diamètre a été élevé au carré.

Rayon 3 m, d'où 3,14 × 3² = 28,26 m². — Avec le diamètre, le résultat est quatre fois trop grand : 113,04 = 4 × 28,26.

Ligne 3 — la division par 2 a été oubliée.

(8 × 5)/2 = 20 cm². — Le triangle est la moitié du rectangle de mêmes base et hauteur : 40 cm² est l'aire de ce rectangle.

Ligne 5 — le facteur de conversion d'aire est faux.

4 500 cm² = 0,45 m². — Du cm² au m², on divise par 10 000 (deux rangs de 100), pas par 1 000 : 4 500 ÷ 10 000 = 0,45.

Explique pourquoi les deux demi-disques, réunis, forment un disque dont on précisera le rayon.

Ils ont le même diamètre, 20 m : réunis, ils forment un disque de 10 m de rayon. — Deux moitiés d'un même disque le reconstituent ; le diamètre commun vaut 20 m, la largeur du rectangle, donc le rayon vaut 10 m.

Combien de mètres parcourt un coureur qui fait un tour complet, au bord du terrain ?

142,8 m — Deux côtés droits de 40 m et un cercle complet de rayon 10 m : 2 × 40 = 80 et 2 × 3,14 × 10 = 62,8, d'où 80 + 62,8 = 142,8 m.

Quelle surface de pelouse faudrait-il pour recouvrir tout le terrain ?

1 114 m² — Rectangle : 40 × 20 = 800 m² ; disque : 3,14 × 10² = 314 m². Total : 800 + 314 = 1 114 m².

Convertis le résultat précédent en ares.

11,14 a — Un are vaut 100 m² : 1 114 ÷ 100 = 11,14 a.

Convertis en m² l'aire de 0,12 ha du terrain.

1 200 m² — Un hectare vaut 10 000 m² : 0,12 × 10 000 = 1 200 m².

Quelle est la largeur du terrain ?

30 m — L'aire d'un rectangle est L × ; ici 40 × = 1 200, donc = 1 200 ÷ 40 = 30 m.

Quelle longueur de grillage la commune doit-elle commander, portail déduit ?

137 m — La clôture suit le tour : 2 × (40 + 30) = 140 m, moins le portail : 140 - 3 = 137 m.

Sur combien de mètres carrés sèmera-t-on du gazon, fontaine exclue ?

1 187,44 m² — Le rayon de la fontaine vaut 2 m : 3,14 × 2² = 12,56 m². Le gazon couvre 1 200 - 12,56 = 1 187,44 m².

Un élu propose de doubler le diamètre de la fontaine. « Elle prendra deux fois plus de place », dit-il. A-t-il raison ? Justifie par un calcul.

Non : sa surface est multipliée par 4 (50,24 m² au lieu de 12,56 m²). — Avec 8 m de diamètre, le rayon vaut 4 m : 3,14 × 4² = 50,24 m², soit 4 × 12,56. Le rayon étant élevé au carré, le doubler multiplie l'aire par 4.

Mathématiques · 6ème · Contrôle Approfondi

Niveau 3 sur 3 · Approfondi

Périmètre et aire

55 minutes noté sur 204 exercices

Le niveau Approfondi du contrôle de sixième sur le périmètre et l'aire se passe de toute aide : prouver ou réfuter cinq affirmations, retrouver et corriger les quatre erreurs d'une copie, transférer les formules du rectangle et du cercle à un terrain de sport bordé de deux demi-disques, puis mener jusqu'au bout l'aménagement d'un terrain de 0,12 hectare. Correction détaillée et barème au point près.

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Deux PDF à imprimer, sur papier A4. Gratuit, sans inscription.

Première page du sujet : Périmètre et aire, contrôle Approfondi

Ce que ce niveau évalue

Justifier ou réfuter
Critiquer une production
Transférer à une figure nouvelle
Résoudre un problème

Prouver ou réfuter une affirmation sur le périmètre et l’aire
Repérer et corriger les erreurs d’une copie
Transférer les formules à une figure nouvelle
Résoudre un problème à plusieurs étapes et en contrôler le résultat

Avant de commencer

Périmètre en unités de longueur, aire en unités carrées : l’unité fait partie de la réponse.
$P_{rect} = 2 (L + ℓ)$ , $A_{rect} = L \times ℓ$ , $A_{tri} = \frac{b \times h}{2}$ , $C = 2 π r$ , $A_{disque} = π r^{2}$ .
Aires : facteur 100 par unité ; 1 a = 100 m², 1 ha = 10 000 m².

Exercice 1 — Vrai ou faux ? Justifie

5 pts · 12 min

Prouver ou réfuter une affirmation

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, et justifie : par un calcul ou une explication si elle est vraie, par un contre-exemple si elle est fausse.

1.« Si l’on découpe un carré dans un coin d’un rectangle, son aire et son périmètre diminuent tous les deux. »
1 pt
Voir la correction
Faux : l’aire diminue, mais le périmètre ne change pas.
Exemple : un rectangle de 5 cm sur 4 cm (aire 20 cm², périmètre 18 cm) dont on retire un carré de 2 cm dans un coin : aire 20 − 4 = 16 cm², mais les deux côtés retirés sont remplacés par deux côtés de même longueur, et le périmètre reste 18 cm.
2.« Un rectangle et un carré peuvent avoir la même aire sans avoir le même périmètre. »
1 pt
Voir la correction
Vrai : 9 cm sur 4 cm et 6 cm de côté donnent 36 cm² tous les deux.
Le rectangle de 9 cm sur 4 cm a un périmètre de $2 \times (9 + 4) = 26$ cm, le carré de 6 cm de côté $4 \times 6 = 24$ cm : même aire, contours différents.
3.« 2,5 dm² = 25 cm². »
1 pt
Voir la correction
Faux : 2,5 dm² = 250 cm².
D’une unité d’aire à la suivante, le facteur est 100 et non 10 : $2, 5 \times 100 = 250$ .
4.« Un terrain carré dont chaque bord mesure 100 m couvre exactement un hectare. »
1 pt
Voir la correction
Vrai : 100 × 100 = 10 000 m² = 1 ha.
L’aire du carré vaut $100 \times 100 = 10000$ m², et c’est exactement la définition de l’hectare.
5.« Tous les triangles construits sur un même segment [AB], avec leur troisième sommet sur une droite parallèle à (AB), occupent la même surface. »
1 pt
Voir la correction
Vrai : l’aire ne dépend que de la base et de la hauteur.
L’aire vaut $\frac{b \times h}{2}$ : si $b$ et $h$ sont les mêmes, le résultat est le même, quelle que soit la forme du triangle.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Répondre « faux » sans contre-exemple chiffré : la justification est la moitié des points.
Croire qu’enlever un morceau à une figure diminue toujours son périmètre.

Exercice 2 — La copie de Nora

4 pts · 10 min

Repérer, expliquer et corriger des erreurs

La copie du document 1 contient quatre erreurs ; une seule ligne est juste. Pour chaque erreur, indique la ligne, explique ce qui est faux et écris ce qu’il fallait écrire.

Document 1La copie de Nora

Périmètre d’un rectangle de 6 cm sur 2,5 cm : $6 \times 2, 5 = 15$ cm².
Aire d’un disque de 6 m de diamètre : $3, 14 \times 6^{2} = 113, 04$ m².
Aire d’un triangle de base 8 cm et de hauteur 5 cm : $8 \times 5 = 40$ cm².
Un carré de 0,3 m de côté : 0,3 m = 30 cm, donc son périmètre vaut $4 \times 30 = 120$ cm.
Conversion : 4 500 cm² = 4,5 m².

Source : Copie rédigée pour ce contrôle (élève fictive).

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1.Ligne 1 — la grandeur calculée n’est pas celle demandée.
1 pt
Voir la correction
On demande le tour : $2 \times (6 + 2, 5) = 17$ cm.
15 cm² est l’aire du rectangle, d’ailleurs écrite avec une unité d’aire ; un périmètre est une longueur.
2.Ligne 2 — le diamètre a été élevé au carré.
1 pt
Voir la correction
Rayon 3 m, d’où $3, 14 \times 3^{2} = 28, 26$ m².
Avec le diamètre, le résultat est quatre fois trop grand : 113,04 = 4 × 28,26.
3.Ligne 3 — la division par 2 a été oubliée.
1 pt
Voir la correction
$\frac{8 \times 5}{2} = 20$ cm².
Le triangle est la moitié du rectangle de mêmes base et hauteur : 40 cm² est l’aire de ce rectangle.
4.Ligne 5 — le facteur de conversion d’aire est faux.
1 pt
Voir la correction
4 500 cm² = 0,45 m².
Du cm² au m², on divise par 10 000 (deux rangs de 100), pas par 1 000 : 4 500 ÷ 10 000 = 0,45.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Signaler la ligne 4 : la conversion 0,3 m = 30 cm est juste, et 4 × 30 = 120 aussi.
Repérer l’erreur sans écrire la ligne corrigée.

Exercice 3 — Le terrain de sport

5 pts · 13 min

Transférer les formules à une figure nouvelle

Un terrain de sport a la forme ci-dessous. Réponds en justifiant chaque étape.

Fais glisser pour voir toute la figure.

Une partie rectangulaire de 40 m sur 20 m, bordée à chaque bout d’un demi-disque de 20 m de diamètre. Les longueurs sont proportionnelles aux vraies ; la figure n’est pas en vraie grandeur.

1.Explique pourquoi les deux demi-disques, réunis, forment un disque dont on précisera le rayon.
1 pt
Voir la correction
Ils ont le même diamètre, 20 m : réunis, ils forment un disque de 10 m de rayon.
Deux moitiés d’un même disque le reconstituent ; le diamètre commun vaut 20 m, la largeur du rectangle, donc le rayon vaut 10 m.
2.Combien de mètres parcourt un coureur qui fait un tour complet, au bord du terrain ?
1.5 pt
Voir la correction
142,8 m
Deux côtés droits de 40 m et un cercle complet de rayon 10 m : $2 \times 40 = 80$ et $2 \times 3, 14 \times 10 = 62, 8$ , d’où $80 + 62, 8 = 142, 8$ m.
3.Quelle surface de pelouse faudrait-il pour recouvrir tout le terrain ?
1.5 pt
Voir la correction
1 114 m²
Rectangle : $40 \times 20 = 800$ m² ; disque : $3, 14 \times 1 0^{2} = 314$ m². Total : $800 + 314 = 1114$ m².
4.Convertis le résultat précédent en ares.
1 pt
Voir la correction
11,14 a
Un are vaut 100 m² : $1114 \div 100 = 11, 14$ a.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Compter les deux segments en tirets dans le tour du terrain : ils sont à l’intérieur.
Prendre 20 m comme rayon des demi-disques.

Exercice 4 — L'aménagement du terrain

6 pts · 18 min

Résoudre un problème à plusieurs étapes

Une commune aménage un terrain rectangulaire de 0,12 ha, long de 40 m. Elle veut l’entourer d’une clôture, en laissant un portail de 3 m, puis semer du gazon partout, sauf sur une fontaine circulaire de 4 m de diamètre. Réponds en rédigeant chaque étape.

1.Convertis en m² l’aire de 0,12 ha du terrain.
1 pt
Voir la correction
1 200 m²
Un hectare vaut 10 000 m² : $0, 12 \times 10000 = 1200$ m².
2.Quelle est la largeur du terrain ?
1 pt
Voir la correction
30 m
L’aire d’un rectangle est $L \times ℓ$  ; ici $40 \times ℓ = 1200$ , donc $ℓ = 1200 \div 40 = 30$ m.
3.Quelle longueur de grillage la commune doit-elle commander, portail déduit ?
1 pt
Voir la correction
137 m
La clôture suit le tour : $2 \times (40 + 30) = 140$ m, moins le portail : $140 - 3 = 137$ m.
4.Sur combien de mètres carrés sèmera-t-on du gazon, fontaine exclue ?
1.5 pt
Voir la correction
1 187,44 m²
Le rayon de la fontaine vaut 2 m : $3, 14 \times 2^{2} = 12, 56$ m². Le gazon couvre $1200 - 12, 56 = 1187, 44$ m².
5.Un élu propose de doubler le diamètre de la fontaine. « Elle prendra deux fois plus de place », dit-il. A-t-il raison ? Justifie par un calcul.
1.5 pt
Voir la correction
Non : sa surface est multipliée par 4 (50,24 m² au lieu de 12,56 m²).
Avec 8 m de diamètre, le rayon vaut 4 m : $3, 14 \times 4^{2} = 50, 24$ m², soit $4 \times 12, 56$ . Le rayon étant élevé au carré, le doubler multiplie l’aire par 4.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Travailler avec 0,12 sans convertir en m² : la largeur trouvée n’a plus de sens.
Croire qu’en doublant le diamètre, l’aire de la fontaine double : elle est multipliée par 4.

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 4 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1Les affirmations prouvées ou réfutées

5 points — 1 par affirmation : 0,5 pour vrai ou faux, 0,5 pour la justification

Point perdu si : « Faux » sans contre-exemple : 0,5 sur 1.

Ex.2Les erreurs de la copie repérées et corrigées

4 points — 1 par erreur : 0,5 pour l’expliquer, 0,5 pour la corriger

Point perdu si : La ligne 4, juste, signalée comme fausse : 0,5 retiré.

Ex.3Le terrain de sport ramené à des figures connues

5 points — 1 + 1,5 + 1,5 + 1

Point perdu si : Les segments intérieurs comptés dans le tour : 0 à la question b.

Ex.4Le problème mené jusqu’à des réponses justifiées

6 points — 1 + 1 + 1 + 1,5 + 1,5

Point perdu si : Un résultat juste sans calcul ni unité : la moitié des points de la question.

Et maintenant ?

16 à 20Niveau maîtrisé: C'est le niveau le plus élevé, et tu le maîtrises. Pour aller plus loin, dessine toi-même une figure composée et calcule son aire de deux façons différentes.
10 à 15Refaire ce niveau: Relis la correction de l'exercice où tu as perdu le plus de points. Refais l'exercice 4 en rédigeant chaque étape, puis refais le niveau 3 dans une semaine.
moins de 10Niveau inférieur: Repasse par le niveau 2 — Standard : il entraîne les formules lues à l'envers et la figure composée dont ce niveau a besoin.

Les autres contrôles de ce chapitre

Aucun ne repose une question d'un autre : chacun couvre le chapitre sous un autre angle. À passer quelques jours plus tard, une fois celui-ci corrigé.

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