Proportionnalité et échelle

Prouver ou réfuter une affirmation

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, et justifie : par une explication si elle est vraie, par un contre-exemple si elle est fausse.

1. 1.« Si deux grandeurs augmentent en même temps, elles sont proportionnelles. »

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   Faux. Contre-exemple : 4 € pour 1 kg et 6 € pour 2 kg ; la masse double, le prix ne double pas.

   Augmenter ensemble ne suffit pas : il faut que doubler l’une double l’autre, ce qui donnerait 8 € pour 2 kg.

2. 2.« Au 1/100, trois mètres deviennent trois centimètres. »

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   Vrai : 3 m font 300 cm, et $300÷100=3$ cm.

   Du réel vers le plan on divise, après avoir exprimé la longueur réelle en centimètres.

3. 3.« Quand une dépense suit la proportionnalité, acheter 0 article revient à payer 0 €. »

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   Vrai : la dépense vaut le nombre d’articles multiplié par le coefficient ; or zéro fois un nombre donne zéro.

   C’est pourquoi la droite d’une situation de proportionnalité passe toujours par l’origine.

4. 4.« Un tableau dont deux colonnes ont le même quotient est un tableau de proportionnalité. »

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   Faux. Contre-exemple : 1 → 5, 2 → 10, 3 → 20.

   $5÷1=5$ et $10÷2=5$, mais $3\times 5=15$ et non 20 : la troisième colonne n’a pas le même quotient.

Repérer, expliquer et corriger des erreurs de raisonnement

La copie du document 1 contient quatre erreurs ; une seule ligne est juste. Pour chaque erreur, indique la ligne, explique ce qui est faux et écris ce qu’il fallait écrire.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 1 — un test fait sur deux colonnes seulement.

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   La troisième colonne donne $15÷10=1,5$, et non 1,40 : le tableau n’est pas proportionnel.

   Le coefficient doit être le même pour toutes les colonnes ; une seule colonne différente suffit à conclure.

2. 2.Ligne 2 — un calcul à l’envers, au résultat absurde.

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   Un mètre coûte $27÷6=4,5$ €, donc 4 m coûtent $4,5\times 4=18$ €.

   Le contrôle d’ordre de grandeur suffisait : 4 m ne peuvent pas coûter plus que 6 m.

3. 3.Ligne 3 — une échelle appliquée à des mètres.

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   5 m font 500 cm, et $500÷200=2,5$ cm.

   Une échelle n’a pas d’unité : les deux longueurs doivent être exprimées dans la même unité avant de diviser.

4. 4.Ligne 5 — un alignement pris pour une preuve.

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   Pour 1 h on paie 7 €, pour 2 h 12 € : $7÷1=7$ mais $12÷2=6$. Pas de proportionnalité.

   La droite ne passe pas par l’origine. Des points alignés sur une droite qui ne part pas de zéro décrivent une régularité, pas une proportionnalité. La ligne 4, elle, est juste.

Raisonner sur une allure constante, puis sur une allure qui change

Sur une route plate, Yanis roule à vélo toujours à la même allure : il parcourt 6 km en 20 minutes. Réponds en justifiant.

1. 1.Quelle distance Yanis parcourt-il en une heure sur la route plate ?

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   18 km

   Une heure, c’est 60 minutes, trois fois 20 minutes : $6\times 3=18$ km.

2. 2.Combien de temps lui faut-il pour parcourir 15 km sur la route plate ? Réponds en minutes.

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   50 minutes

   En 10 minutes, il parcourt 3 km ; 15 km, c’est cinq fois 3 km, donc $5\times 10=50$ minutes.

3. 3.Sa sœur Lou roule 1 h 30 min à la même allure. Elle écrit : « 1 h 30 min = 1,3 h, donc j’ai parcouru 23,4 km. » Corrige son calcul.

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   1 h 30 min = 1,5 h ; elle a parcouru 27 km.

   Trente minutes font la moitié d’une heure, donc 0,5 h : $18\times 1,5=27$ km.

4. 4.Le lendemain, Yanis fait 6 km de montée en 30 minutes, puis 6 km de descente en 10 minutes. Sur ce trajet, la distance parcourue est-elle proportionnelle au temps ? Justifie.

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   Non : le quotient de la distance par le temps change.

   En montée, $6÷30=0,2$ km par minute ; en descente, $6÷10=0,6$ km par minute. Le coefficient n’est pas le même.

Retrouver une échelle, l'utiliser, puis en choisir une autre

Le document 2 est le plan d’un appartement ; son échelle n’est pas indiquée. On sait que le salon mesure 6 m de long en réalité. Réponds en justifiant chaque étape.

1. 1.Retrouve le coefficient qui relie ce dessin à l’appartement : quelle est l’échelle ?

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   1/50

   6 m font 600 cm et le salon mesure 12 cm sur le plan : $600÷12=50$. Sur ce plan, 1 cm représente 50 cm.

2. 2.Quelles sont les dimensions réelles de la cuisine ?

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   3 m sur 2,5 m

   $6\times 50=300$ cm et $5\times 50=250$ cm : on multiplie par 50 du plan vers le réel.

3. 3.On veut placer côte à côte, le long du petit côté du salon, un canapé de 2,1 m et un buffet de 1,8 m. Est-ce possible ? Justifie.

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   Oui : le petit côté mesure 4 m et les deux meubles 3,9 m ; il reste 10 cm.

   $8\times 50=400$ cm, soit 4 m ; $2,1+1,8=3,9$ m, c’est moins que 4 m.

4. 4.Le plan doit être réimprimé sur une feuille où le salon ne peut pas dépasser 10 cm de long. Parmi les échelles 1/40, 1/75 et 1/100, laquelle donne le plus grand plan possible ? Justifie par des calculs.

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   1/75 : le salon y mesure 8 cm.

   Au 1/40, $600÷40=15$ cm, trop long ; au 1/75, $600÷75=8$ cm ; au 1/100, $600÷100=6$ cm. Le 1/75 donne le plus grand plan qui tienne.

Comparer deux offres exprimées en pourcentage

Un paquet de café de 250 g coûte d’habitude 6 €. Le magasin A propose « 20 % de café en plus, au même prix » ; le magasin B propose « 20 % de réduction sur le prix ». Réponds en justifiant.

1. 1.Quelle masse de café contient le paquet vendu par le magasin A ?

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   300 g

   $250\times 0,2=50$ g de café en plus, et $250+50=300$ g.

2. 2.Quel prix paie-t-on le paquet dans le magasin B ?

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   4,80 €

   La réduction vaut $6\times 0,2=1,2$ €, et $6-1,2=4,8$, soit 4,80 €.

3. 3.Léa pense que les deux offres se valent puisqu’elles annoncent toutes deux 20 %. A-t-elle raison ? Compare le prix de 100 g de café dans les deux magasins.

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   Non : 2 € les 100 g dans le magasin A, 1,92 € dans le magasin B. L’offre B est plus avantageuse.

   A : 300 g pour 6 €, et $6÷3=2$. B : 250 g pour 4,80 €, et $4,8÷2,5=1,92$. Le même pourcentage ne porte pas sur la même grandeur.