Géométrie — Triangles, angles et droites

Connaître les propriétés du cours

Pour chaque phrase, coche la seule réponse juste.

1. 1.On découpe les trois coins d’un triangle en papier et on les pose côte à côte, sommet contre sommet. On obtient…

   0.5 pt
   • un angle droit
   • un angle plat
   • un tour complet
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   un angle plat

   Les trois angles mis bout à bout forment une ligne droite : un angle plat, qui mesure 180°.

2. 2.Une équerre de dessinateur a la forme d’un triangle rectangle isocèle. Ses deux autres coins valent…

   0.5 pt
   • 30°
   • 45°
   • 60°
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   45°

   Ils sont égaux et se partagent les 90° que laisse l’angle droit : $90÷2=45$.

3. 3.Sur la feuille de Léa, le triangle tracé à la règle a un angle de 90°. Ses deux autres angles sont alors…

   0.5 pt
   • égaux
   • complémentaires
   • obtus
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   complémentaires

   L’angle droit prend 90° sur 180° : les deux autres se partagent les 90° restants.

4. 4.Le professeur dessine au tableau un triangle $BAC$ isocèle en $A$, puis il colorie les deux angles identiques. Il colorie…

   0.5 pt
   • $\hat{A}$ et $\hat{B}$
   • $\hat{B}$ et $\hat{C}$
   • $\hat{A}$ et $\hat{C}$
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   $\hat{B}$ et $\hat{C}$

   Isocèle en $A$ : la base est $[BC]$, et les angles égaux sont ceux de la base, en $B$ et en $C$.

5. 5.Après avoir calculé le troisième angle, on contrôle son résultat en vérifiant que…

   0.5 pt
   • le plus grand vaut 90°
   • leur somme fait bien 180°
   • ils sont tous égaux
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   leur somme fait bien 180°

   Une addition suffit : si elle ne tombe pas sur 180°, une soustraction est fausse.

6. 6.Une droite qui coupe deux autres droites s’appelle…

   0.5 pt
   • une sécante
   • une médiatrice
   • une parallèle
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   une sécante

   C’est le vocabulaire de la méthode : on repère d’abord la sécante, puis les angles qu’elle forme.

7. 7.Le parallélisme de deux droites se démontre, à partir d’angles, grâce à…

   0.5 pt
   • la propriété directe
   • la réciproque
   • la somme des angles
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   la réciproque

   La propriété directe suppose le parallélisme ; la réciproque va des angles égaux au parallélisme.

8. 8.Une démonstration s’écrit dans cet ordre :

   0.5 pt
   • ce que l’on en déduit, puis la propriété
   • ce que l’on sait, la propriété, ce que l’on en déduit
   • la propriété seule
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   ce que l’on sait, la propriété, ce que l’on en déduit

   On part de l’hypothèse, on nomme la propriété utilisée, puis on écrit la conclusion.

Connaître les étapes d'une construction

Triangle $RST$ : $RS=7$ cm, $\hat{R}=50°$, $\hat{S}=70°$. Complète avec la banque ; trois éléments ne servent pas.

1. 1.On trace d’abord le segment de 7 cm.

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   $[RS]$

   On commence par le seul côté dont on connaît la longueur.

2. 2.En $R$, on trace au un angle de 50°.

   0.5 pt
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   rapporteur

   Un angle se trace au rapporteur ; le compas sert à reporter des longueurs.

3. 3.En $S$, on trace 70°, du côté du segment.

   0.5 pt
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   même

   Les deux demi-droites doivent partir du même côté de $[RS]$ pour se rencontrer.

4. 4.$T$ est l’ des deux demi-droites.

   0.5 pt
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   intersection

   $T$ est le seul point situé à la fois sur les deux demi-droites.

5. 5.Sans rapporteur : $\hat{T}=180-50-70=$ degrés.

   0.5 pt
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   60

   $180-50-70=60$ : la somme des angles donne le troisième.

6. 6.Si le rapporteur dit autre chose en $T$, on reprend la .

   0.5 pt
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   construction

   Le calcul est sûr ; un écart mesuré révèle un tracé imprécis.

7. 7.Avant de sortir le compas pour 4 cm, 6 cm et 11 cm, on additionne $4+6=$ .

   0.5 pt
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   10

   On additionne les deux plus petits côtés : $4+6=10$.

8. 8.Puisque 10 est inférieur à 11, cette figure est à tracer.

   0.5 pt
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   impossible

   Le plus grand côté dépasse la somme des deux autres : les arcs de compas ne se couperaient pas.

Reconnaître des angles alternes-internes et correspondants

Sur la figure, les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles, et l’angle 1 mesure 62°. Réponds par un numéro d’angle ou une mesure.

1. 1.Parmi les huit angles numérotés, lequel constitue avec l’angle 3 une paire d’alternes-internes ?

   0.5 pt
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   l’angle 5

   3 et 5 sont entre les deux droites, de part et d’autre de la sécante.

2. 2.Repère sur la figure l’angle situé en position d’alterne-interne par rapport à l’angle 4 : quel numéro porte-t-il ?

   0.5 pt
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   l’angle 6

   4 et 6 sont entre les droites, chacun d’un côté de $(s)$ : c’est l’autre couple d’alternes-internes.

3. 3.Quel angle est correspondant à l’angle 4 ?

   0.5 pt
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   l’angle 8

   4 et 8 sont tous deux à droite de la sécante, sous leur droite : même position.

4. 4.Quel angle est correspondant à l’angle 7 ?

   0.5 pt
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   l’angle 3

   7 et 3 sont à gauche de la sécante, sous leur droite : même côté, même position.

5. 5.Combien mesure l’angle 5 ?

   0.5 pt
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   62°

   5 est correspondant à 1 ; comme les droites sont parallèles, ils sont égaux.

6. 6.Combien mesure l’angle 2 ?

   0.5 pt
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   118°

   1 et 2 forment un angle plat : $180-62=118$.

7. 7.Combien mesure l’angle 6 ?

   0.5 pt
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   118°

   6 est correspondant à 2, sur des parallèles : il mesure lui aussi 118°.

8. 8.Quelle information de l’énoncé permet de répondre aux trois questions précédentes ?

   0.5 pt
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   $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.

   Sans ce parallélisme donné, aucune égalité d’angles ne serait permise, même si le dessin semble régulier.

Calculer un angle avec la somme des angles et la nature du triangle

Calcule l’angle demandé en écrivant l’opération.

1. 1.Dans le triangle $KLM$, $\hat{K}=33°$ et $\hat{L}=104°$. Calcule $\hat{M}$.

   1 pt
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   $\hat{M}=43°$

   $180-33-104=43$. Contrôle : $33+104+43=180$.

2. 2.Le triangle $PQR$ est rectangle en $P$ et $\hat{Q}=27°$. Calcule $\hat{R}$.

   1 pt
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   $\hat{R}=63°$

   Les angles aigus sont complémentaires : $90-27=63$.

3. 3.Le triangle $UVW$ est isocèle en $U$ et $\hat{U}=100°$. Calcule $\hat{V}$ et $\hat{W}$.

   1 pt
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   40° chacun

   $180-100=80$, partagé entre deux angles égaux : $80÷2=40$.

4. 4.Le triangle $EFG$ est isocèle en $E$ et $\hat{F}=25°$. Calcule $\hat{E}$.

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   $\hat{E}=130°$

   $\hat{G}=\hat{F}=25°$, donc $180-25-25=130$.

Exploiter une figure pour calculer et justifier

Le document 1 représente la ferme d’une charpente. La poutre $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. Réponds en justifiant.

1. 1.Pourquoi les angles $\hat{B}$ et $\hat{C}$ ont-ils la même mesure ?

   1 pt
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   $ABC$ est isocèle en $A$.

   Le codage indique $AB=AC$ : ce sont les angles à la base d’un triangle isocèle en $A$.

2. 2.Calcule $\hat{B}$.

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   $\hat{B}=35°$

   $180-110=70$, à partager entre deux angles égaux : $70÷2=35$.

3. 3.Détermine l’angle $\widehat{AMN}$ formé par la poutre et le pan $[AB]$, en justifiant.

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   35°

   $\widehat{AMN}$ et $\widehat{ABC}$ sont correspondants pour $(MN)$ et $(BC)$ coupées par $(AB)$ ; ces droites étant parallèles, les angles sont égaux.

4. 4.Les pans $[AB]$ et $[AC]$ mesurent 2 m. Un client voudrait une poutre $[BC]$ de 4,2 m, avec ces mêmes pans. Est-ce possible ?

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   Non : $2+2=4$ et $4<4,2$.

   Le plus grand côté dépasserait la somme des deux autres : les pans ne se rejoindraient pas.