Volumes — Pavés droits, prismes et cylindres

Calculer un volume en situation et contrôler le résultat

Calcule chaque volume en écrivant l’opération, et donne-le avec son unité. On prend $\pi \approx 3,14$.

1. 1.Une jardinière en forme de pavé droit mesure 0,8 m de long, 20 cm de large et 25 cm de profondeur. Quelle est sa contenance, en litres ?

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   40 L

   0,8 m = 80 cm. $80\times 20\times 25=40000$ cm³, et $40000÷1000=40$ dm³, soit 40 L.

2. 2.Quelle quantité de cire faut-il pour mouler une bougie ronde de 14 cm de diamètre, épaisse de 5 cm ? Donne le résultat avec π, puis arrondi au dixième.

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   $245\pi$ cm³, soit environ 769,3 cm³

   Le rayon vaut 7 cm : $\pi \times 7^2\times 5=245\pi$, et $245\times 3,14=769,3$.

3. 3.Un camarade annonce 3 077,2 cm³ pour la bougie. Sans refaire son calcul, montre que c’est impossible à l’aide du pavé de 14 cm sur 14 cm sur 5 cm qui l’entoure. Quelle erreur a-t-il faite ?

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   Le pavé ne mesure que 980 cm³ : la bougie ne peut pas être plus grande. Il a pris le diamètre pour le rayon.

   $14\times 14\times 5=980$ cm³. Or 3 077,2 est exactement 4 fois 769,3 : c’est le facteur 4 du diamètre élevé au carré.

4. 4.Combien de cm³ de bois faut-il pour tailler une cale de porte épaisse de 4 cm, dont la face avant est un triangle rectangle de 6 cm et 2,5 cm autour de l’angle droit ?

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   30 cm³

   Aire de la base : $6\times 2,5÷2=7,5$ cm². Puis $7,5\times 4=30$ cm³ : l’épaisseur est la hauteur du prisme.

Distinguer la hauteur d'un solide d'une arête oblique

Observe le document 1 : la boîte est posée sur une face rectangulaire. Réponds aux questions.

1. 1.Quelles faces de cette boîte sont ses bases ?

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   Les deux faces triangulaires, à l’avant et à l’arrière.

   Ce sont les deux faces identiques et parallèles ; les trois autres faces, des rectangles, les relient.

2. 2.Quelle est la hauteur du prisme ?

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   20 cm

   La hauteur est la distance entre les deux triangles : la longueur de la boîte, 20 cm, perpendiculaire à ses bases.

3. 3.Quelle surface couvre l’un des deux triangles ?

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   12 cm²

   La hauteur du triangle est le pointillé de 3 cm, perpendiculaire au côté de 8 cm : $8\times 3÷2=12$ cm².

4. 4.Combien de cm³ de chocolats la boîte peut-elle contenir ?

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   240 cm³

   $12\times 20=240$ : aire de la base multipliée par la hauteur du prisme, soit 240 cm³.

5. 5.Léa trouve 400 cm³ : elle a calculé 8 × 5 ÷ 2 × 20. Explique son erreur.

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   Elle a pris le côté oblique de 5 cm au lieu de la hauteur du triangle, 3 cm, perpendiculaire au côté de 8 cm.

   Une hauteur se mesure perpendiculairement à la base ; le côté de 5 cm est penché, et il donne une aire trop grande.

Exploiter un patron : volume, aire latérale, aire totale

La figure ci-dessous est le patron d’un solide, dessiné aux proportions exactes. Réponds aux questions en écrivant tes calculs.

1. 1.Quel solide obtient-on en pliant ce patron ?

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   Un prisme droit à base triangulaire.

   Deux triangles identiques face à face, reliés par trois rectangles : c’est un prisme droit dont la base est un triangle rectangle.

2. 2.Quelle est la hauteur de ce solide ?

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   7 cm

   C’est la largeur commune des trois rectangles : une fois plié, elle sépare les deux triangles.

3. 3.Quelle est la surface d’un des deux triangles du patron ?

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   6 cm²

   La base est un triangle rectangle de côtés 3 cm et 4 cm autour de l’angle droit : $3\times 4÷2=6$ cm².

4. 4.Quelle place le solide plié occupe-t-il ?

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   42 cm³

   $6\times 7=42$ : aire de la base multipliée par la hauteur, soit 42 cm³.

5. 5.Les trois rectangles forment une bande. Donne sa longueur, puis l’aire latérale du solide.

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   12 cm ; 84 cm²

   $3+4+5=12$ cm, le périmètre de la base ; puis $12\times 7=84$ cm², l’aire de la surface déroulée.

6. 6.Combien de carton faut-il pour découper tout ce patron ?

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   96 cm²

   On ajoute les deux bases à l’aire latérale : $84+2\times 6=96$ cm².

7. 7.Combien de millilitres d’eau ce solide pourrait-il contenir, s’il était creux ?

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   42 mL

   Son volume vaut 42 cm³, et 1 cm³ = 1 mL : il contiendrait 42 mL.

8. 8.Nina affirme : « 96 est plus grand que 42, donc ce solide a plus de surface que de volume. » Pourquoi cette comparaison n’a-t-elle pas de sens ?

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   On ne compare pas des cm² et des cm³ : ce sont deux grandeurs différentes.

   L’aire dit combien de carton enveloppe le solide, le volume ce qu’il contient : leurs unités diffèrent, les nombres ne se comparent pas.

Comparer des volumes et des contenances

Réponds en écrivant les conversions effectuées.

1. 1.Range dans l’ordre croissant : 0,5 L ; 450 cm³ ; 0,0006 m³ ; 550 mL.

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   450 cm³ < 0,5 L < 550 mL < 0,0006 m³

   En cm³ : 0,5 L = 500 cm³ ; 550 mL = 550 cm³ ; $0,0006\times 1000000=600$ cm³. Le plus petit nombre n’est pas le plus petit volume.

2. 2.Combien de verres doseurs de 250 mL faut-il verser pour remplir un récipient de 2 dm³ ?

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   8 verres

   2 dm³ = 2 L = 2 000 mL, et $2000÷250=8$.

3. 3.Exprime 35 000 cm³ en m³, puis en litres.

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   0,035 m³ ; 35 L

   Du cm³ au m³, deux unités : $35000÷1000000=0,035$ m³. Et $35000÷1000=35$ L.