Statistiques et initiation aux probabilités

Prouver ou réfuter une affirmation

Pour chaque affirmation, dis si elle est vraie ou fausse, puis justifie : par un raisonnement si elle est vraie, par un contre-exemple si elle est fausse.

1. 1.« La médiane figure toujours parmi les valeurs relevées. »

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   Faux : 2 ; 4 ; 6 ; 10 a pour médiane 5.

   Effectif pair : $(4+6)÷2=5$, qui ne figure pas dans la série. Un contre-exemple suffit.

2. 2.« Si l’on ajoute 2 points à chacune des notes d’une série, la moyenne augmente de 2 points. »

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   Vrai.

   Avec n notes, la somme augmente de $2\times n$ ; divisée par n, elle donne une moyenne augmentée de exactement 2.

3. 3.« Deux séries qui ont la même moyenne et la même étendue sont identiques. »

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   Faux : 1 ; 5 ; 5 ; 9 et 1 ; 3 ; 7 ; 9.

   Les deux ont pour moyenne $20÷4=5$ et pour étendue $9-1=8$, et pourtant elles diffèrent.

4. 4.« Un dé a six faces, donc on a toujours une chance sur six d’obtenir 6. »

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   Faux : il faut que le dé soit équilibré.

   Sur un dé truqué, les faces n’ont pas la même chance de sortir : sans équiprobabilité, on ne peut pas diviser 1 par 6.

5. 5.« Deux classes où la fréquence des externes vaut 0,4 comptent le même nombre d’externes. »

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   Faux : 10 sur 25 et 12 sur 30.

   $\frac{10}{25}=\frac{12}{30}=0,4$, mais 10 et 12 diffèrent : une même fréquence n’implique pas un même effectif si les totaux diffèrent.

Repérer, expliquer et corriger des erreurs

Températures relevées à midi pendant dix jours (en °C) : 14 ; 18 ; 11 ; 15 ; 20 ; 13 ; 15 ; 22 ; 12 ; 16. On choisit ensuite l’un de ces jours au hasard. La copie du document 1 contient quatre erreurs ; trois lignes sont justes. Pour chaque erreur, indique la ligne, explique ce qui est faux et écris ce qu’il fallait écrire.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 2 — l’ordre oublié.

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   Après rangement : 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 15 ; 16 ; 18 ; 20 ; 22 ; médiane $(15+15)÷2=15$ °C.

   La médiane est une position dans la série rangée ; les 5ᵉ et 6ᵉ valeurs de la liste brute ne partagent rien.

2. 2.Ligne 4 — la mauvaise valeur minimale.

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   Étendue : $22-11=11$ °C.

   L’étendue oppose la plus grande et la plus petite valeur, pas la première valeur écrite.

3. 3.Ligne 5 — un événement mal décrit.

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   P(« au moins 15 °C ») $=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$.

   « Au moins 15 » contient 15 : il faut ajouter les deux jours à 15 °C aux quatre jours plus chauds.

4. 4.Ligne 7 — impossible et certain confondus.

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   Aucun jour n’atteint 25 °C : c’est impossible, d’où 0.

   Aucun jour n’atteint 25 °C ; une probabilité de 0 traduit l’impossible, le certain correspond à 1.

Départager deux séries et argumenter un choix

Le club de tir à l’arc ne peut inscrire qu’un archer à une compétition. Observe les documents 2 et 3, puis réponds en justifiant chaque réponse par des valeurs.

1. 1.Calcule la moyenne de chaque archer.

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   8 points pour chacun

   Clara : $80÷10=8$ ; Mehdi : $80÷10=8$. La moyenne ne permet pas de les départager.

2. 2.Pour chaque archer, donne la médiane et l’étendue de ses dix scores.

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   Clara : médiane 8, étendue 4 ; Mehdi : médiane 10, étendue 8

   Clara rangée : 6 ; 7 ; 7 ; 8 ; 8 ; 8 ; 8 ; 9 ; 9 ; 10. Mehdi rangée : 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 10 ; 10 ; 10 ; 10 ; 10 ; 10. Demi-somme des 5ᵉ et 6ᵉ valeurs.

3. 3.Quelle boîte du document 3 représente les flèches de Mehdi ? Justifie sans calcul.

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   La boîte X

   Sa moustache descend jusqu’à 2, le score le plus faible de Mehdi, et son trait de médiane est à 10 ; la boîte Y va de 6 à 10 avec une médiane à 8, comme Clara.

4. 4.Lors de la compétition, toute flèche à moins de 6 points élimine l’archer. Qui faut-il inscrire ? Et si l’on gagnait en marquant le plus de 10 ? Argumente.

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   Clara si une flèche sous 6 élimine ; Mehdi s’il faut le plus de 10.

   Clara, d’étendue 4, n’est jamais descendue sous 6, alors que Mehdi a tiré 2 et 3. Mais la médiane de Mehdi vaut 10 : au moins la moitié de ses flèches (six sur dix) ont fait 10, contre une seule pour Clara.

Construire une situation qui respecte des probabilités imposées

On veut remplir un sac de 12 jetons indiscernables au toucher, rouges, verts ou bleus, de sorte que la probabilité de tirer un rouge soit $\frac{1}{4}$ et que celle de tirer un vert soit le double de celle de tirer un bleu. Réponds en justifiant.

1. 1.Combien faut-il de jetons de chaque couleur ?

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   3 rouges, 6 verts et 3 bleus

   $\frac{1}{4}$ de 12 donne 3 rouges ; les 9 autres se partagent en 6 verts et 3 bleus. Contrôle : $\frac{3}{12}+\frac{6}{12}+\frac{3}{12}=1$.

2. 2.Un sac de 12 jetons peut-il donner exactement une chance sur cinq de tirer un rouge ?

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   Non : $12÷5=2,4$ n’est pas entier.

   $12÷5=2,4$ n’est pas un nombre entier ; or on ne peut compter qu’un nombre entier d’issues favorables.

3. 3.Avec quel nombre de verts supplémentaires la probabilité du vert atteint-elle $\frac{2}{3}$ ?

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   6 verts de plus

   Le sac compte alors 12 verts sur 18 jetons : $\frac{12}{18}=\frac{2}{3}$. Le nombre total de jetons change avec les ajouts.

Raisonner sur un tableau d'effectifs incomplet

Observe le document 4 : x est un nombre entier. Réponds en justifiant.

1. 1.Si deux élèves ont eu 10, quelle note se trouve au milieu du classement ?

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   12

   Effectif total 12 : on cherche les 6ᵉ et 7ᵉ notes. Effectifs cumulés : 3, 5, 10, 12 ; les deux sont des 12.

2. 2.Jusqu’à quel x la note du milieu reste-t-elle égale à 12 ?

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   x = 3

   Pour x = 3, l’effectif vaut 13 et la 7ᵉ note est un 12 (cumuls 3, 6, 11). Pour x = 4, les 7ᵉ et 8ᵉ notes sont 10 et 12 : la médiane tombe à 11, et elle baisse encore si x augmente.

3. 3.Quel x faut-il pour que le groupe ait exactement 11 de moyenne ?

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   x = 4

   Il faut $24+10x+60+30=11\times (10+x)$, soit $114+10x=110+11x$, donc $x=4$. Contrôle : $154÷14=11$.