Nombres relatifs — Addition, soustraction, multiplication

Repérer une erreur de raisonnement et la corriger

La copie du document 1 contient quatre lignes fausses ; les deux autres sont justes. Pour chaque erreur, indique la ligne, explique ce qui est faux et écris le calcul ou la conclusion juste.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 2 — le facteur nul oublié.

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   Le produit contient le facteur $0$ : il vaut $0$, quel que soit le nombre de signes moins. Compter les signes ne sert que si aucun facteur n’est nul.

   Multiplier par zéro donne zéro ; la règle des signes ne s’applique qu’à un produit non nul. 0,5 point pour repérer, 0,5 pour corriger.

2. 2.Ligne 3 — même valeur absolue n’est pas même nombre.

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   $-11$ et $+11$ sont opposés : ils ont la même distance à zéro, mais ils ne sont pas égaux ; sur l’axe, ils sont de part et d’autre de zéro, et $-11<+11$.

   La valeur absolue ne regarde que l’écart à zéro et efface le signe : elle ne permet pas de conclure à l’égalité de deux nombres.

3. 3.Ligne 5 — la soustraction retournée.

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   On ne peut pas échanger les termes d’une soustraction. On ajoute l’opposé : $(-4)+(-9)=-13$.

   L’élève a calculé $(+9)-(-4)$, qui vaut l’opposé du bon résultat : retourner une soustraction change le signe de son résultat.

4. 4.Ligne 6 — la règle du produit appliquée à une addition.

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   Une somme de deux négatifs reste négative : $(-3)+(-5)=-8$, puisque $3+5=8$.

   « Deux signes identiques donnent un plus » concerne la multiplication et deux signes qui se suivent ; ici les deux nombres s’additionnent.

Démontrer ou réfuter une affirmation

Réponds à chaque question en justifiant. Pour une affirmation, dis si elle est vraie ou fausse : un contre-exemple suffit à montrer qu’elle est fausse.

1. 1.Sans calculer le produit, donne le signe de $(-1,5)\times (+2)\times (-0,4)\times (-7)\times (-3)$. Justifie.

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   Positif : il y a quatre signes moins, et quatre est un nombre pair.

   Seul compte le nombre de facteurs négatifs, ici $-1,5$, $-0,4$, $-7$ et $-3$ ; les décimaux suivent la même règle des signes.

2. 2.Affirmation : « La somme de deux nombres relatifs est toujours plus grande que chacun des deux nombres. »

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   Fausse. Contre-exemple : $(+4)+(-6)=-2$, et $-2$ est plus petit que $+4$.

   Ajouter un nombre négatif fait diminuer : dès qu’un des termes est négatif, la somme est plus petite que l’autre terme.

3. 3.Affirmation : « Quand le résultat d’une multiplication est inférieur à zéro, l’un des facteurs au moins est inférieur à zéro. »

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   Vraie. Si aucun facteur n’était négatif, il n’y aurait aucun signe moins : le produit serait positif ou nul, jamais négatif.

   Un produit négatif demande un nombre impair de signes moins, donc au moins un facteur négatif. Un exemple seul ne suffirait pas : il faut cet argument général.

4. 4.Un élève affirme : « $-8^2$ est positif, puisqu’un carré n’est jamais négatif. » Qu’en penses-tu ?

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   Il se trompe : $-8^2=-64$. Le carré porte sur $8$ seulement, puis le signe moins s’applique ; c’est $(-8{)}^2$ qui vaut $+64$.

   Sans parenthèses, la puissance ne porte pas sur le signe : $-8^2$ est l’opposé du carré de $8$, donc un nombre négatif.

5. 5.Sur une droite graduée, le point A a pour abscisse $-3$ et le point B est situé à 5 unités de A. Quelles abscisses B peut-il avoir ? Justifie.

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   $+2$ ou $-8$ : $(-3)+5=+2$ en avançant de 5 unités, $(-3)-5=-8$ en reculant de 5 unités.

   Se déplacer de 5 unités vers la droite, c’est ajouter $5$ ; vers la gauche, c’est soustraire $5$. Une seule réponse ne rapporte que la moitié du point.

Déduire des nombres manquants

Dans cette pyramide, chaque case est la somme des deux cases situées juste en dessous. Retrouve les nombres $a$, $b$, $c$, $d$, $e$ et $f$ en écrivant chaque calcul.

1. 1.Calcule $a$.

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   $a=(-2)-(+3)=-5$.

   La case $-2$ repose sur $a$ et sur $+3$ : $a+3=-2$, donc $a$ est $-2$ moins $3$, soit $-5$.

2. 2.Calcule $c$, puis $e$.

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   $c=(-7)+(-5)=-12$ ; $e=(-12)+(-2)=-14$.

   Ces deux cases sont des sommes directes : deux négatifs, on ajoute les distances à zéro et on garde le moins.

3. 3.Déduis-en $f$.

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   $f=(-6)-(-14)=(-6)+14=+8$.

   Le sommet $-6$ est la somme de $e$ et $f$ : $f$ est $-6$ moins $-14$, et soustraire $-14$ revient à ajouter $14$.

4. 4.Termine : calcule $d$, puis $b$.

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   $d=8-(-2)=10$ ; $b=10-3=7$.

   $f=(-2)+d$, donc $d$ vaut $8$ plus $2$, soit $10$ ; puis $d=3+b$, donc $b$ vaut $7$. Vérification : $(-14)+8=-6$.

Résoudre un problème ouvert

Dans un jeu, un questionnaire compte dix questions. Une bonne réponse rapporte $3$ points, une mauvaise réponse en retire $2$, une question sans réponse ne rapporte rien et n’en retire rien. Le score peut donc être négatif. Réponds aux questions en détaillant ta démarche.

1. 1.Un joueur a donné 6 bonnes réponses, 3 mauvaises et n’a pas répondu à une question. Écris son score à l’aide de nombres relatifs, puis calcule-le.

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   $6\times (+3)+3\times (-2)+1\times 0=(+18)+(-6)+0=+12$ ; il a 12 points.

   Les gains valent $6\times 3=18$ points, les pertes $3\times 2=6$ points, écrites $-6$ ; on ajoute : $18-6=12$.

2. 2.Un autre joueur a répondu aux dix questions et obtient $-5$ points. Combien de bonnes réponses a-t-il données ? Explique ta démarche.

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   3 bonnes réponses et 7 mauvaises : $3\times (+3)+7\times (-2)=(+9)+(-14)=-5$.

   On essaie méthodiquement : 2 bonnes et 8 mauvaises donnent $6-16$, soit $-10$ ; 3 bonnes et 7 mauvaises donnent $9-14$, soit $-5$ ; 4 bonnes donnent déjà $0$. Une seule répartition convient.

3. 3.Est-il possible d’obtenir exactement $-1$ point en répondant aux dix questions ? Justifie.

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   Non. Avec dix réponses, le score va de $-20$ (tout faux) à $+30$ (tout juste) de 5 en 5 : $-20$, $-15$, $-10$, $-5$, $0$… Le nombre $-1$ n’en fait pas partie.

   Remplacer une mauvaise réponse par une bonne fait passer de $-2$ à $+3$, soit $(+3)-(-2)=+5$ points de plus : partant de $-20$, on n’obtient que des scores de 5 en 5.

4. 4.Quel est le score le plus bas possible à ce jeu, et le plus haut ? Quel écart les sépare ?

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   Le plus bas : $10\times (-2)=-20$ ; le plus haut : $10\times (+3)=+30$. L’écart vaut $30-(-20)=50$ points.

   Le pire est de tout rater, le meilleur de tout réussir ; l’écart est le plus haut moins le plus bas, et soustraire $-20$, c’est ajouter $20$.