Nombres relatifs — Addition, soustraction, multiplication

Simplifier une écriture puis calculer

Simplifie l’écriture de chaque expression en supprimant les parenthèses, puis calcule-la. Pour le c, regroupe d’abord les termes négatifs et les termes positifs.

1. 1.$(-4)-(+7)+(-2)-(-9)$

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   $-4-7-2+9=-4$

   On réduit chaque couple de signes, puis de gauche à droite : $-11$, puis $-13$, puis $-4$.

2. 2.$12-(-3)-(+20)+(-1)$

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   $12+3-20-1=-6$

   Après réduction des signes : $12+3=15$, puis $15-20$ donne $-5$, puis $-5-1$ donne $-6$.

3. 3.$(-25)+(+17)+(-75)+(+33)$

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   $(-100)+(+50)=-50$

   On regroupe : négatifs $25+75=100$, positifs $17+33=50$. Puis $(-100)+(+50)$ : $100-50=50$, signe du plus éloigné, moins.

4. 4.$-2,5-(-4)+(-0,5)-6$

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   $-2,5+4-0,5-6=-5$

   Les règles valent pour les décimaux. De gauche à droite : $1,5$, puis $1$, puis $-5$.

Appliquer la règle des signes à plusieurs facteurs

Pour chaque calcul, écris d’abord le nombre de signes moins et le signe du résultat, puis calcule.

1. 1.$(-2)\times (+3)\times (-4)\times (-5)$

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   $-120$

   Trois signes moins, nombre impair : le résultat est négatif. Puis $2\times 3\times 4\times 5=120$.

2. 2.$(-1)\times (-1)\times (-1)\times (-1)\times (-1)\times (-1)$

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   $+1$

   Six signes moins, nombre pair : le résultat est positif, et le produit des distances à zéro vaut $1$.

3. 3.$(-6)\times (+5)÷(-10)$

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   $+3$

   De gauche à droite : $(-6)\times (+5)=-30$, puis $(-30)÷(-10)$, deux signes moins, donne $+3$, car $30÷10=3$.

4. 4.Calcule $(-6{)}^2$ puis $-6^2$. Ces deux nombres sont-ils égaux ? Que vaut leur somme ?

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   $(-6{)}^2=36$ et $-6^2=-36$ : ils sont opposés, pas égaux, et leur somme vaut $0$.

   Avec parenthèses, $(-6)\times (-6)=36$ ; sans parenthèses, seul $6$ est au carré et le moins reste devant. Deux opposés ont une somme nulle.

Comparer deux expressions

Pour chaque ligne, calcule les deux expressions, puis compare les résultats avec le signe $<$ ou $>$.

1. 1.$(-6)+(-5)$ et $(-6)\times (-5)$

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   $-11<30$

   La somme de deux négatifs est négative, $-11$ ; leur produit est positif, $+30$. Tout négatif est plus petit qu’un positif.

2. 2.$|-15|$ et $|+9|+|-5|$

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   $15>14$

   La distance à zéro de $-15$ vaut $15$ ; à droite, $9+5=14$. On compare deux positifs : $15$ est plus grand.

3. 3.$(-2)-(-9)$ et $(-20)÷(-4)$

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   $7>5$

   $(-2)+(+9)=+7$ et le quotient de deux négatifs est positif : $20÷4=5$. Donc $7>5$.

Appliquer et remonter un programme

Lis le document 1, puis réponds aux questions en écrivant le résultat de chaque étape.

1. 1.Applique le programme au nombre $-7$. Écris le résultat de chaque étape.

   1.5 pt
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   $-7$ ; $-3$ ; $+6$ ; $+12$. Le résultat est $12$.

   $(-7)+4=-3$ ; $(-3)\times (-2)=+6$, deux signes moins ; $6-(-6)=6+6=12$, on ajoute l’opposé.

2. 2.Applique le programme au nombre $+1$.

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   $+1$ ; $+5$ ; $-10$ ; $-4$. Le résultat est $-4$.

   $1+4=5$ ; $5\times (-2)=-10$, signes différents ; $(-10)-(-6)=(-10)+6=-4$.

3. 3.Quel nombre faut-il choisir pour obtenir $0$ à la fin ? Remonte le programme en partant de la dernière étape, puis vérifie.

   1.5 pt
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   $-1$. En remontant : $0+(-6)=-6$ ; $(-6)÷(-2)=3$ ; $3-4=-1$.

   Pour obtenir $0$ après avoir soustrait $-6$, il fallait $-6$ ; avant la multiplication par $-2$, il fallait $3$ ; avant l’ajout de $4$, il fallait $-1$. Vérification : $-1$, $3$, $-6$, $0$.

Modéliser une situation par des relatifs

Observe le document 2. Pour chaque question, écris le calcul avec des nombres relatifs, puis conclus par une phrase avec l’unité.

1. 1.À quelle altitude se trouvent le haut de la falaise et l’épave ?

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   Haut de la falaise : $+100$ m ; épave : $-60$ m.

   Une graduation vaut 20 m : F est un cran au-dessus de $+80$, E un cran au-dessous de $-40$.

2. 2.Quelle distance verticale sépare le haut de la falaise de l’épave ?

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   $100-(-60)=100+60=160$ ; 160 m séparent le haut de la falaise de l’épave.

   On soustrait l’altitude la plus basse de la plus haute ; soustraire $-60$, c’est ajouter $60$ : on additionne les 100 m au-dessus de la mer et les 60 m au-dessous.

3. 3.Le plongeur, en D, descend encore de 15 m, puis remonte de 8 m. Écris un seul calcul qui donne sa nouvelle altitude, puis effectue-le.

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   $(-20)+(-15)+(+8)=-27$ ; le plongeur est à 27 m sous le niveau de la mer.

   Le plongeur part de $-20$ ; la descente ajoute $-15$, la remontée $+8$. De gauche à droite : $-35$, puis $-27$.

4. 4.Un robot part de la surface (altitude $0$) et descend de 6 m chaque minute. Écris sous la forme d’un produit son changement d’altitude en 10 minutes. Atteint-il alors l’épave ?

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   $10\times (-6)=-60$ ; après 10 minutes, le robot est à $-60$ m : il atteint exactement l’épave.

   Dix descentes de 6 m : $-60$ m depuis $0$, l’altitude de E. 1 point pour le produit, 1 pour la conclusion.