Géométrie — Triangles, angles et droites

Appliquer l'inégalité triangulaire

Réponds en écrivant l’addition ou la comparaison qui justifie.

1. 1.Deux côtés d’un triangle mesurent 5 cm et 8 cm ; le troisième mesure un nombre entier de centimètres. Quelle est sa plus grande longueur possible ?

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   12 cm

   Il doit rester sous $5+8=13$ ; le plus grand entier strictement inférieur à 13 est 12.

2. 2.Pour ce même triangle, quelle est la plus petite longueur entière possible du troisième côté ?

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   4 cm

   8 doit rester sous la somme du côté cherché et de 5, donc le côté dépasse $8-5=3$ : le plus petit entier est 4.

3. 3.Avec une ficelle de 20 cm tendue en boucle, Inès veut former un triangle isocèle dont le côté différent mesure 10 cm. Est-ce possible ?

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   Non : $5+5=10$, sans dépasser 10.

   Les deux côtés égaux se partagent $20-10=10$ cm, soit 5 cm chacun ; leur somme égale la base au lieu de la dépasser.

4. 4.Sami trace $[AB]$ de 9 cm, puis un arc de rayon 3 cm centré en $A$ et un arc de rayon 5 cm centré en $B$. Pourquoi les arcs ne se coupent-ils pas ?

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   $3+5=8$, moins que 9.

   Les deux rayons réunis n’atteignent pas la longueur de $[AB]$ : la vérification préalable aurait évité le tracé.

Enchaîner des calculs d'angles sur une figure

Sur la figure, $B$, $D$ et $C$ sont alignés. Calcule chaque angle en écrivant l’opération, dans l’ordre des questions.

1. 1.Calcule $\widehat{ADB}$.

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   100°

   Dans $ABD$ : $180-40-40=100$.

2. 2.Calcule $\widehat{ADC}$.

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   80°

   $\widehat{ADB}$ et $\widehat{ADC}$ forment un angle plat : $180-100=80$.

3. 3.Calcule $\widehat{DAC}$.

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   50°

   Dans $ADC$ : $180-80-50=50$.

4. 4.Quelle est la nature du triangle $ADC$ ? Justifie.

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   isocèle en $D$

   Ses angles en $A$ et en $C$ mesurent tous deux 50° : le sommet principal est $D$. De même, $ABD$ est isocèle en $D$.

Démontrer que deux droites sont parallèles, ou qu'elles ne le sont pas

Un menuisier assemble un portail : deux rails $(AB)$ et $(CD)$, une écharpe $(BC)$ et un rail du milieu $(EF)$, qui coupe l’écharpe en $G$. Les mesures du document 1 sont exactes. Suis les questions dans l’ordre.

1. 1.Quelle droite est la sécante commune aux rails $(AB)$ et $(CD)$ ?

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   $(BC)$

   L’écharpe coupe les deux rails : c’est elle qui forme les angles à comparer.

2. 2.Comment s’appelle le couple formé par $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BCD}$ ?

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   alternes-internes

   Ils sont entre les deux rails, de part et d’autre de l’écharpe $(BC)$.

3. 3.Que peux-tu conclure pour $(AB)$ et $(CD)$ ? Cite la propriété.

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   $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

   Les deux alternes-internes mesurent 38° : ils sont égaux, et la réciproque de la propriété des angles alternes-internes permet de conclure au parallélisme.

4. 4.Comment s’appelle le couple formé par $\widehat{BGF}$ et $\widehat{BCD}$, et ces angles sont-ils égaux ?

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   Correspondants ; non, 40° et 38°.

   Ils sont du même côté de $(BC)$, dans la même position ; leurs mesures diffèrent de 2°.

5. 5.Le rail $(EF)$ est-il parallèle à $(CD)$ ? Justifie.

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   Non.

   Si $(EF)$ et $(CD)$ étaient parallèles, ces correspondants seraient égaux ; or 40° ≠ 38°. Le dessin trompe : 2° d’écart ne se voient presque pas.

Déduire la nature d'un triangle de ses angles

Détermine la nature de chaque triangle en calculant d’abord l’angle qui manque.

1. 1.Le triangle $GHI$ possède un angle de 30° en $G$ et un angle de 60° en $H$. Quel nom particulier porte-t-il ?

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   rectangle

   Le troisième angle vaut $180-30-60=90$ : c’est un angle droit.

2. 2.Dans le triangle $JKL$, on relève 72° en $J$ et 36° en $K$. Quel nom particulier lui donner ?

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   isocèle

   Le troisième vaut $180-72-36=72$ : deux angles égaux, donc deux côtés égaux.

3. 3.Un triangle isocèle possède un angle de 60°, sans qu’on sache lequel. Prouve que ses trois côtés sont forcément de même longueur.

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   équilatéral dans les deux cas

   Au sommet principal : $180-60=120$ et $120÷2=60$ pour chaque angle à la base. À la base : l’autre angle à la base vaut 60°, et $180-60-60=60$ au sommet.

Rédiger une démonstration

Dans le triangle $ABC$, $\hat{A}=54°$ et $\hat{B}=63°$. Le point $M$ est sur $[AB]$, le point $N$ sur $[AC]$, et $\widehat{ANM}=63°$. On veut démontrer que $(MN)$ est parallèle à $(BC)$. Complète chaque blanc par un nombre, une droite ou un mot.

1. 1.D’abord, la somme des angles de $ABC$ donne $\hat{C}=180-54-63=$ .

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   63

   $180-54-63=63$ : la somme des angles donne l’angle manquant.

2. 2.Ensuite, $(MN)$ et $(BC)$ sont coupées par la sécante .

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   $(AC)$

   Les sommets $N$ et $C$ des deux angles sont sur $(AC)$.

3. 3.Les angles $\widehat{ANM}$ et $\widehat{ACB}$ sont .

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   correspondants

   Ils sont du même côté de $(AC)$, dans la même position par rapport à $(MN)$ et à $(BC)$.

4. 4.Ils mesurent tous deux 63° : ils sont donc .

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   égaux

   Cette égalité est la donnée dont la réciproque a besoin.

5. 5.D’après la de la propriété des angles correspondants,

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   réciproque

   C’est elle qui va de l’égalité des angles vers le parallélisme.

6. 6.on conclut que $(MN)$ et $(BC)$ sont .

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   parallèles

   La conclusion répond exactement à ce qu’on voulait démontrer.