Géométrie — Triangles, angles et droites

Calculer un angle par la somme des angles d'un triangle

Calcule l’angle demandé.

1. 1.Deux angles d’un triangle valent 52° et 67°. Combien mesure le troisième ?

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   61°

   $180-52-67=61$. Contrôle : $52+67+61=180$.

2. 2.Deux angles valent 90° et 35°. Combien mesure le troisième ?

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   55°

   $180-90-35=55$. Le triangle est rectangle : les deux angles aigus totalisent 90°.

3. 3.Un triangle a ses trois angles égaux. Combien mesure chacun ?

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   60°

   $180÷3=60$. C’est le triangle équilatéral.

4. 4.Un triangle peut-il avoir deux angles droits ? Justifie.

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   Non : ils totaliseraient déjà 180°, il ne resterait rien pour le troisième.

   Un angle de 0° n’existe pas dans un triangle : les deux côtés seraient confondus.

5. 5.Deux angles valent 118° et 27°. Combien mesure le troisième ?

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   35°

   $180-118-27=35$. Un seul angle peut dépasser 90° dans un triangle.

Exploiter la nature d'un triangle pour calculer ses angles

Calcule l’angle demandé en justifiant.

1. 1.Un triangle rectangle a un angle aigu de 38°. Combien mesure l’autre angle aigu ?

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   52°

   Les deux angles aigus sont complémentaires : $90-38=52$.

2. 2.Un triangle isocèle a un angle au sommet de 36°. Combien mesurent les angles à la base ?

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   72° chacun

   $180-36=144$, partagé en deux parts égales : $144÷2=72$.

3. 3.Un triangle isocèle a un angle à la base de 70°. Combien mesure l’angle au sommet ?

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   40°

   Les deux angles à la base valent 70° chacun : $180-70-70=40$.

4. 4.Combien mesure chaque angle d’un triangle équilatéral ?

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   60°

   Trois côtés égaux entraînent trois angles égaux, et $180÷3=60$.

Décider si un triangle est constructible

Réponds par oui ou non, en écrivant l’addition qui le justifie.

1. 1.Peut-on construire un triangle de côtés 4 cm, 7 cm et 13 cm ?

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   Non : $4+7=11$, et $11<13$.

   Les deux petits côtés mis bout à bout n’atteignent pas le troisième.

2. 2.Peut-on construire un triangle de côtés 8 cm, 9 cm et 15 cm ?

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   Oui : $8+9=17$, et $17>15$.

   La somme des deux plus petits dépasse le plus grand : la construction est possible.

3. 3.Peut-on construire un triangle de côtés 3 cm, 5 cm et 8 cm ?

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   Non : $3+5=8$, ce n’est pas strictement supérieur à 8.

   Les trois points seraient alignés : la figure est plate, ce n’est pas un triangle.

4. 4.Quelle vérification fait-on avant toute construction ?

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   Le plus grand côté doit être plus court que la somme des deux autres.

   Inutile de sortir le compas si la figure est impossible : les deux arcs ne se couperaient jamais.

Employer les propriétés des angles formés par deux parallèles

Réponds à chaque question.

1. 1.Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Que dire des angles alternes-internes ?

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   Ils sont égaux.

   C’est la propriété directe, et elle suppose le parallélisme établi.

2. 2.Et des angles correspondants ?

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   Ils sont égaux aussi.

   Les deux propriétés vont ensemble et s’appliquent dans les mêmes conditions.

3. 3.Deux angles alternes-internes sont égaux. Que peut-on en conclure ?

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   Que les deux droites sont parallèles.

   C’est la réciproque, et c’est ainsi qu’on démontre un parallélisme au lieu de le supposer.

4. 4.Peut-on appliquer cette propriété si rien n’indique que les droites sont parallèles ?

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   Non : le parallélisme est l’hypothèse de la propriété.

   Sur un dessin où les droites semblent parallèles sans que rien ne le dise, l’égalité est fausse et le raisonnement s’effondre.

Repérer un raisonnement faux et le corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris la réponse juste.

1. 1.« Les trois angles d’un triangle valent 70°, 60° et 60°. »

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   Impossible : leur somme fait 190°, or elle doit valoir 180°.

   La vérification tient en une addition, et elle attrape l’erreur avant toute suite du raisonnement.

2. 2.« On peut construire un triangle de côtés 2 cm, 6 cm et 9 cm. »

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   Non : $2+6=8$, et $8<9$.

   Le plus grand côté doit être plus court que la somme des deux autres.

3. 3.« Les droites semblent parallèles sur le dessin, donc les alternes-internes sont égaux. »

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   L’apparence ne prouve rien : il faut un codage ou une phrase de l’énoncé.

   Deux droites très légèrement inclinées se couperaient hors de la feuille, sans que le dessin le montre.