Volumes — Pavés droits, prismes et cylindres

Justifier ou réfuter une affirmation

Pour chaque affirmation, écris « vrai » ou « faux », puis justifie par un calcul ou une règle du cours.

1. 1.« Une boîte ronde deux fois plus haute, avec le même fond, a une contenance deux fois plus grande. »

   1 pt
   Voir la correction

   Vrai.

   $V={\mathcal{A}}_{\text{base}}\times h$ : l’aire de la base ne change pas, donc le volume est multiplié par 2 comme la hauteur.

2. 2.« Un seau rond dont le rayon est deux fois plus grand, à profondeur égale, contient deux fois plus d’eau. »

   1 pt
   Voir la correction

   Faux : il est multiplié par 4.

   Le rayon est élevé au carré : $\pi \times (2r{)}^2\times h=4\times \pi r^{2}h$. C’est le même facteur 4 que l’erreur du diamètre.

3. 3.« Une boîte à fond carré de 6 cm de côté et une boîte triangulaire dont le fond mesure 36 cm², hautes toutes deux de 10 cm, contiennent autant. »

   1 pt
   Voir la correction

   Vrai.

   La base carrée a une aire de $6\times 6=36$ cm², comme le triangle : seule l’aire de la base compte, pas sa forme. Les deux volumes valent 360 cm³.

4. 4.« Une boîte cubique dont chaque bord mesure 10 cm contient exactement un litre. »

   1 pt
   Voir la correction

   Vrai.

   $10\times 10\times 10=1000$ cm³ = 1 dm³ = 1 L : c’est même la définition du litre comme décimètre cube.

5. 5.« Un aquarium de 50 cm sur 30 cm sur 40 cm contient 60 000 L. »

   1 pt
   Voir la correction

   Faux : il contient 60 L.

   $50\times 30\times 40=60000$ cm³, et $60000÷1000=60$ L. 60 000 L, c’est 60 m³ : le volume d’une pièce entière.

Repérer une erreur et la corriger

Théo devait calculer la contenance d’un pot de peinture cylindrique sans couvercle, de diamètre 20 cm et de hauteur 0,25 m, puis l’aire de métal qui le compose. Sa copie (document 1) contient quatre erreurs ; une ligne est juste en elle-même. Pour chaque erreur, indique la ligne, explique ce qui est faux et écris ce qu’il fallait.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 1 — le diamètre élevé au carré.

   1 pt
   Voir la correction

   Le rayon vaut 10 cm : la base a pour aire $\pi \times 10^2=100\pi$ cm².

   Élever le diamètre au carré rend l’aire de la base quatre fois trop grande.

2. 2.Ligne 2 — une hauteur restée en mètres.

   1 pt
   Voir la correction

   0,25 m = 25 cm, donc $V=100\pi \times 25=2500\pi$ cm³, soit environ 7 850 cm³.

   On ne multiplie pas des cm² par des mètres : toutes les longueurs doivent être en centimètres avant le calcul.

3. 3.Ligne 4 — un litre pris pour 100 cm³.

   1 pt
   Voir la correction

   1 L = 1 000 cm³ : 314 cm³ font 0,314 L. Avec les valeurs justes, le pot contient 7,85 L.

   Le facteur entre cm³ et dm³ est 1 000, et le litre est le décimètre cube.

4. 4.Ligne 5 — deux disques pour un pot sans couvercle.

   1 pt
   Voir la correction

   Un seul disque, le fond : $500\pi +100\pi =600\pi$ cm², soit environ 1 884 cm².

   Le pot est ouvert : l’aire de métal est l’aire latérale plus une seule base.

Transférer la formule à une base nouvelle et résoudre un problème

Un abreuvoir pour chevaux est un bac ouvert sur le dessus, long de 1,5 m. Sa face avant est un trapèze : 40 cm de large au fond, 60 cm en haut, 30 cm de profondeur. À mi-hauteur, sa largeur est de 50 cm. Réponds en justifiant chaque étape.

1. 1.Justifie que l’abreuvoir se calcule comme un prisme droit : quelles faces jouent le rôle des bases, et quelle longueur sépare ces faces ?

   1 pt
   Voir la correction

   Ses faces avant et arrière sont deux trapèzes identiques et parallèles, reliés par des rectangles : c’est la base. Sa hauteur est sa longueur, 1,5 m.

   La hauteur d’un prisme droit sépare ses deux bases, perpendiculairement : ici elle est horizontale, et vaut 150 cm.

2. 2.Trouve la surface du trapèze de la face avant en le découpant en figures connues.

   2 pt
   Voir la correction

   1 500 cm²

   Un rectangle de 40 cm sur 30 cm, $40\times 30=1200$ cm², et deux triangles de 10 cm sur 30 cm, $10\times 30÷2=150$ cm² chacun : $1200+2\times 150=1500$ cm².

3. 3.Quelle est la contenance de l’abreuvoir, en litres ?

   1.5 pt
   Voir la correction

   225 L

   1,5 m = 150 cm ; $1500\times 150=225000$ cm³, et $225000÷1000=225$ L.

4. 4.Ugo affirme : « Rempli jusqu’à mi-hauteur, l’abreuvoir contient la moitié de sa contenance. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul.

   1.5 pt
   Voir la correction

   Non : à mi-hauteur, il contient environ 101 L, moins que la moitié, 112,5 L.

   L’eau forme un prisme dont la base est un trapèze de 40 cm et 50 cm de large, profond de 15 cm : $40\times 15+2\times (5\times 15÷2)=675$ cm², puis $675\times 150=101250$ cm³. Le bac s’évase : la moitié basse est la plus étroite.

5. 5.On remplit l’abreuvoir vide avec un seau de 10 L. Combien de seaux faut-il au minimum ?

   1 pt
   Voir la correction

   23 seaux

   $225÷10=22,5$ : 22 seaux ne suffisent pas, il en faut un 23ᵉ, rempli à moitié.

Retrouver une hauteur et comparer volume et aire

Un fabricant hésite entre deux emballages qui contiennent chacun exactement 1 L de jus : une brique en forme de pavé droit dont le fond mesure 10 cm sur 5 cm, et une boîte cylindrique de rayon 5 cm. On prend $\pi \approx 3,14$.

1. 1.Quelle est la hauteur de la brique ?

   1 pt
   Voir la correction

   20 cm

   1 L = 1 000 cm³ ; l’aire du fond vaut $10\times 5=50$ cm², donc $h=1000÷50=20$ cm.

2. 2.Jusqu’à quelle hauteur le jus monte-t-il dans la boîte ronde ? Arrondis au millimètre.

   1.5 pt
   Voir la correction

   environ 12,7 cm

   Aire du fond : $3,14\times 5^2=78,5$ cm². Puis $1000÷78,5\approx 12,74$, soit environ 12,7 cm.

3. 3.Les deux emballages demandent-ils la même quantité de carton ? Calcule leurs aires totales et conclus.

   1.5 pt
   Voir la correction

   Non : environ 700 cm² pour la brique, 557 cm² pour la boîte cylindrique. Même volume, aires différentes.

   Brique : $2\times (50+200+100)=700$ cm². Boîte : aire latérale $2\times 3,14\times 5\times 12,74\approx 400$ cm², plus deux fonds de 78,5 cm², soit environ 557 cm². Le volume ne fixe pas l’aire.