Ligne 2 — sommet principal et base confondus.

angle B et angle C sont égaux, pas angle A : angle A = 80°. — Isocèle en A : la base est [BC], d'où 180 - 50 - 50 = 80.

Ligne 4 — la mauvaise comparaison.

Il faut comparer 9 à 3 + 5 = 8 : comme 8 est inférieur à 9, le triangle est impossible. — Comparer une somme qui contient le plus grand côté à un petit côté ne prouve rien : elle est toujours plus grande.

Ligne 6 — un parallélisme lu sur le dessin.

Aucune conclusion possible : le parallélisme n'est pas établi. — « Semblent parallèles » n'est pas une donnée : l'égalité des alternes-internes exige le parallélisme en hypothèse.

Ligne 8 — le calcul mis en doute à la place du tracé.

Le calcul de 72° est juste : c'est la construction qui est imprécise, il faut la reprendre. — La somme des angles donne une valeur exacte ; un écart au rapporteur signale une erreur de tracé.

Ligne 10 — deux correspondants égaux jugés sans conséquence.

Les droites sont parallèles. — Deux correspondants égaux suffisent à prouver le parallélisme : c'est la réciproque de la propriété des angles correspondants.

« Avec un peu de soin et un bon rapporteur, on arrive à obtenir un triangle isocèle dont les deux angles égaux sont obtus. »

Faux. — Deux angles obtus dépassent chacun 90° : à eux deux, ils dépasseraient 180° avant même le troisième angle.

« Quand on photocopie un triangle en l'agrandissant deux fois, la somme de ses angles passe à 360°. »

Faux. — La somme vaut 180° pour tout triangle, quelle que soit sa taille : agrandir ne change pas les angles.

« Pour savoir si trois longueurs forment un triangle, une seule comparaison suffit. »

Vrai. — Il suffit de comparer la plus grande à la somme des deux autres ; les deux autres comparaisons sont toujours vraies, puisqu'une somme qui contient le plus grand côté dépasse forcément un petit côté.

« Deux angles correspondants de 70° et 71° suffisent à affirmer que les droites sont parallèles : un degré d'écart ne compte pas. »

Faux. — La réciproque exige deux angles égaux ; si les droites étaient parallèles, les correspondants seraient égaux, or 70° ≠ 71°. Elles ne sont donc pas parallèles.

Démontre que angle xAB = angle ABC.

angle xAB = angle ABC (alternes-internes) — Les deux angles sont de part et d'autre de (AB), entre (xy) et (BC) ; ces droites étant parallèles, la propriété des alternes-internes donne l'égalité.

Démontre de même que angle yAC = angle ACB.

même raisonnement avec la sécante (AC) — Cette fois la sécante est (AC) ; le parallélisme de (xy) et (BC) est toujours l'hypothèse.

Que vaut la somme angle xAB + angle BAC + angle CAy ? Pourquoi ?

180° — Ces trois angles mis bout à bout vont de la demi-droite [Ax) à la demi-droite [Ay) : ils forment un angle plat.

Déduis-en ce que vaut angle A + angle B + angle C, et pourquoi le résultat vaut pour n'importe quel triangle.

angle A + angle B + angle C = 180° — On remplace angle xAB par angle B et angle CAy par angle C dans l'égalité précédente ; comme le triangle était quelconque, la règle vaut pour tous.

Démontre que l'angle extérieur angle ACz est égal à angle A + angle B.

les deux valent 180° - angle C — angle ACz et angle ACB forment un angle plat, donc angle ACz = 180° - angle C ; la somme des angles donne aussi angle A + angle B = 180° - angle C.

55° — Dans ABC : 180 - 55 - 70 = 55.

Démontre que angle CBD = 55°.

alternes-internes avec angle BCA — (BD) et (AE) sont parallèles et coupées par (BC) ; angle CBD et angle BCA sont alternes-internes, donc égaux.

70° — Dans BCD : 180 - 55 - 55 = 70. Le triangle BCD est isocèle en C.

55° — angle BCA, angle BCD et angle DCE forment un angle plat : 180 - 55 - 70 = 55.

Les diagonales (AB) et (CD) sont-elles parallèles ? Démontre-le.

Oui. — angle BAC et angle DCE sont correspondants pour (AB) et (CD) coupées par (AE) ; ils mesurent tous deux 55°, donc la réciproque permet de conclure.

Mathématiques · 5ème · Contrôle Approfondi

Niveau 3 sur 3 · Approfondi

Géométrie — Triangles, angles et droites

55 minutes noté sur 204 exercices

Le niveau Approfondi du contrôle de cinquième sur les triangles demande d'argumenter : corriger une copie qui confond sommet et base, lit un parallélisme sur le dessin ou doute du calcul plutôt que du tracé, trancher des affirmations, démontrer pourquoi les angles d'un triangle totalisent 180° et en tirer l'angle extérieur, puis résoudre le treillis d'une passerelle. Sans aide, correction détaillée.

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Deux PDF à imprimer, sur papier A4. Gratuit, sans inscription.

Première page du sujet : Géométrie — Triangles, angles et droites, contrôle Approfondi

Ce que ce niveau évalue

Repérer et corriger une erreur
Prouver ou réfuter une affirmation
Rédiger une démonstration
Résoudre un problème

Une copie à corriger : cinq erreurs de raisonnement
Des affirmations à prouver ou à réfuter
La démonstration de la somme des angles d’un triangle
Le treillis d’une passerelle : angles, parallèles et réciproque

Avant de commencer

Une propriété s’applique seulement si son hypothèse est établie.
Une affirmation fausse se réfute par un contre-exemple ou par un calcul.
Une démonstration enchaîne : donnée, propriété, conclusion.

Exercice 1 — La copie de Théo

5 pts · 13 min

Repérer une erreur de raisonnement et la corriger

La copie du document 1 contient cinq erreurs, une par réponse. Pour chacune, indique la ligne, explique ce qui est faux et écris ce qu’il fallait répondre.

Document 1La copie de Théo

Énoncé : $A B C$ est isocèle en $A$ et $B = 50°$ . Calculer $A$ .
Théo : le triangle est isocèle, donc $A = B = 50°$ .
Énoncé : peut-on construire un triangle de côtés 3 cm, 5 cm et 9 cm ?
Théo : $9 + 3 = 12$ et 12 est plus grand que 5, donc oui.
Énoncé : $(d)$ et $(d^{'})$ semblent parallèles ; un angle alterne-interne mesure 66°.
Théo : l’autre angle alterne-interne mesure donc aussi 66°.
Énoncé : construire $D E F$ avec $D E = 5$ cm, $D = 45°$ , $E = 63°$ , puis contrôler.
Théo : j’ai mesuré $F = 68°$ , mais le calcul donne $180 - 45 - 63 = 72$  ; mon calcul est donc faux.
Énoncé : deux angles correspondants mesurent chacun 81°.
Théo : on ne peut rien dire, des angles égaux ne prouvent pas que les droites sont parallèles.

Source : Copie rédigée pour ce contrôle : elle contient des erreurs volontaires.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1.Ligne 2 — sommet principal et base confondus.
1 pt
Voir la correction
$B$ et $C$ sont égaux, pas $A$ : $A = 80°$ .
Isocèle en $A$ : la base est $[B C]$ , d’où $180 - 50 - 50 = 80$ .
2.Ligne 4 — la mauvaise comparaison.
1 pt
Voir la correction
Il faut comparer 9 à $3 + 5 = 8$ : comme 8 est inférieur à 9, le triangle est impossible.
Comparer une somme qui contient le plus grand côté à un petit côté ne prouve rien : elle est toujours plus grande.
3.Ligne 6 — un parallélisme lu sur le dessin.
1 pt
Voir la correction
Aucune conclusion possible : le parallélisme n’est pas établi.
« Semblent parallèles » n’est pas une donnée : l’égalité des alternes-internes exige le parallélisme en hypothèse.
4.Ligne 8 — le calcul mis en doute à la place du tracé.
1 pt
Voir la correction
Le calcul de 72° est juste : c’est la construction qui est imprécise, il faut la reprendre.
La somme des angles donne une valeur exacte ; un écart au rapporteur signale une erreur de tracé.
5.Ligne 10 — deux correspondants égaux jugés sans conséquence.
1 pt
Voir la correction
Les droites sont parallèles.
Deux correspondants égaux suffisent à prouver le parallélisme : c’est la réciproque de la propriété des angles correspondants.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Voir l’erreur de la ligne 6 sans dire ce qui manque : le parallélisme n’est pas donné.
Corriger la ligne 8 en refaisant le calcul, alors qu’il est juste : c’est la conclusion qui est fausse.

Exercice 2 — Vrai ou faux : prouve-le

4 pts · 10 min

Prouver ou réfuter une affirmation

Indique si chaque affirmation est vraie ou fausse, puis justifie par un calcul, une propriété ou un contre-exemple.

1.« Avec un peu de soin et un bon rapporteur, on arrive à obtenir un triangle isocèle dont les deux angles égaux sont obtus. »
1 pt
Voir la correction
Faux.
Deux angles obtus dépassent chacun 90° : à eux deux, ils dépasseraient 180° avant même le troisième angle.
2.« Quand on photocopie un triangle en l’agrandissant deux fois, la somme de ses angles passe à 360°. »
1 pt
Voir la correction
Faux.
La somme vaut 180° pour tout triangle, quelle que soit sa taille : agrandir ne change pas les angles.
3.« Pour savoir si trois longueurs forment un triangle, une seule comparaison suffit. »
1 pt
Voir la correction
Vrai.
Il suffit de comparer la plus grande à la somme des deux autres ; les deux autres comparaisons sont toujours vraies, puisqu’une somme qui contient le plus grand côté dépasse forcément un petit côté.
4.« Deux angles correspondants de 70° et 71° suffisent à affirmer que les droites sont parallèles : un degré d’écart ne compte pas. »
1 pt
Voir la correction
Faux.
La réciproque exige deux angles égaux ; si les droites étaient parallèles, les correspondants seraient égaux, or 70° ≠ 71°. Elles ne sont donc pas parallèles.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Répondre « vrai » ou « faux » sans justification : la moitié des points est perdue.
Justifier une affirmation générale par un seul exemple.

Exercice 3 — Pourquoi 180° ?

6 pts · 15 min

Démontrer la propriété de la somme des angles

Sur le document 2, $A B C$ est un triangle quelconque ; la droite $(x y)$ passe par $A$ et elle est parallèle à $(B C)$  ; le point $z$ prolonge $[B C]$ au-delà de $C$ . Rédige chaque réponse en citant la propriété utilisée.

Document 2Un triangle et une parallèle

Fais glisser pour voir toute la figure.

Les arcs de même forme repèrent les angles dont on démontre l’égalité. Source : Schéma dessiné pour ce contrôle.

1.Démontre que $x A B = A B C$ .
1.5 pt
Voir la correction
$x A B = A B C$ (alternes-internes)
Les deux angles sont de part et d’autre de $(A B)$ , entre $(x y)$ et $(B C)$  ; ces droites étant parallèles, la propriété des alternes-internes donne l’égalité.
2.Démontre de même que $y A C = A C B$ .
1 pt
Voir la correction
même raisonnement avec la sécante $(A C)$
Cette fois la sécante est $(A C)$  ; le parallélisme de $(x y)$ et $(B C)$ est toujours l’hypothèse.
3.Que vaut la somme $x A B + B A C + C A y$  ? Pourquoi ?
1 pt
Voir la correction
180°
Ces trois angles mis bout à bout vont de la demi-droite $[A x)$ à la demi-droite $[A y)$ : ils forment un angle plat.
4.Déduis-en ce que vaut $A + B + C$ , et pourquoi le résultat vaut pour n’importe quel triangle.
1 pt
Voir la correction
$A + B + C = 180°$
On remplace $x A B$ par $B$ et $C A y$ par $C$ dans l’égalité précédente ; comme le triangle était quelconque, la règle vaut pour tous.
5.Démontre que l’angle extérieur $A C z$ est égal à $A + B$ .
1.5 pt
Voir la correction
les deux valent $180° - C$
$A C z$ et $A C B$ forment un angle plat, donc $A C z = 180° - C$  ; la somme des angles donne aussi $A + B = 180° - C$ .

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Utiliser la somme des angles pour la démontrer : le raisonnement tourne en rond.
Oublier de nommer la sécante quand on affirme que deux angles sont alternes-internes.

Exercice 4 — Le treillis de la passerelle

5 pts · 13 min

Résoudre un problème d'angles et de parallèles

Le document 3 montre le treillis d’une passerelle. Les membrures $(B D)$ et $(A E)$ sont parallèles ; $A$ , $C$ et $E$ sont alignés. Réponds en justifiant chaque étape.

Document 3Le treillis d’une passerelle

Fais glisser pour voir toute la figure.

Membrures $(B D)$ et $(A E)$ parallèles ; diagonales $[A B]$ , $[B C]$ , $[C D]$ , $[D E]$ . Figure aux proportions exactes. Source : Schéma dessiné pour ce contrôle, aux proportions exactes.

1.Calcule $B C A$ .
1 pt
Voir la correction
55°
Dans $A B C$ : $180 - 55 - 70 = 55$ .
2.Démontre que $C B D = 55°$ .
1 pt
Voir la correction
alternes-internes avec $B C A$
$(B D)$ et $(A E)$ sont parallèles et coupées par $(B C)$  ; $C B D$ et $B C A$ sont alternes-internes, donc égaux.
3.Calcule $B C D$ .
1 pt
Voir la correction
70°
Dans $B C D$ : $180 - 55 - 55 = 70$ . Le triangle $B C D$ est isocèle en $C$ .
4.Calcule $D C E$ .
1 pt
Voir la correction
55°
$B C A$ , $B C D$ et $D C E$ forment un angle plat : $180 - 55 - 70 = 55$ .
5.Les diagonales $(A B)$ et $(C D)$ sont-elles parallèles ? Démontre-le.
1 pt
Voir la correction
Oui.
$B A C$ et $D C E$ sont correspondants pour $(A B)$ et $(C D)$ coupées par $(A E)$  ; ils mesurent tous deux 55°, donc la réciproque permet de conclure.

Les erreurs fréquentes sur cet exercice

Supposer que les diagonales $(A B)$ et $(C D)$ sont parallèles au lieu de le démontrer.
Oublier que les trois angles de sommet $C$ sur la droite $(A E)$ forment un angle plat.

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 4 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1L’erreur située, expliquée et corrigée

5 points — 1 par erreur

Point perdu si : L’erreur signalée sans la réponse juste : 0,5 sur 1.

Ex.2Le verdict justifié par un argument général ou un contre-exemple

4 points — 1 par affirmation

Point perdu si : Un verdict juste sans justification : 0,5 sur 1.

Ex.3La propriété et la sécante nommées à chaque pas

6 points — 1,5 + 1 + 1 + 1 + 1,5

Point perdu si : La somme des angles utilisée pour la démontrer : 0 aux questions concernées.

Ex.4Chaque angle justifié, la réciproque citée à la fin

5 points — 1 par question

Point perdu si : Le parallélisme des diagonales affirmé sans les deux angles égaux.

Et maintenant ?

16 à 20Niveau maîtrisé: C'est le niveau le plus élevé, et tu le maîtrises. Pour aller plus loin, cherche ce que vaut la somme des trois angles extérieurs d'un triangle, en t'appuyant sur la question e de l'exercice 3.
10 à 15Refaire ce niveau: Relis la correction de l'exercice où tu as perdu le plus de points. Refais l'exercice 3 en nommant à chaque ligne la donnée, la propriété et la conclusion, puis refais le niveau 3 dans une semaine.
moins de 10Niveau inférieur: Repasse par le niveau 2 — Standard : il entraîne la méthode du parallélisme, les angles en cascade et l'inégalité triangulaire dont ce niveau a besoin.

Les autres contrôles de ce chapitre

Aucun ne repose une question d'un autre : chacun couvre le chapitre sous un autre angle. À passer quelques jours plus tard, une fois celui-ci corrigé.

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