Que compte exactement un exposant ?

Les facteurs — Il ne multiplie pas la base : il dit combien de fois elle apparaît.

32 — Cinq facteurs égaux à 2, et non le produit de 2 par 5.

Combien vaut 10⁻³ ?

0,001 — L'exposant négatif inverse : la virgule se déplace de trois rangs vers la gauche.

1 — Zéro facteur laisse le neutre de la multiplication. C'est la seule valeur qui rende la règle du produit cohérente.

10⁷ — Les exposants s'ajoutent : c'est la règle du produit.

10³ — Les exposants se soustraient : c'est la règle du quotient.

10⁶ — Les exposants se multiplient : c'est la puissance d'une puissance.

5⁵, soit 3125 — La règle vaut pour toute base, pas seulement pour dix.

2³ × 5² se simplifie-t-il en une seule puissance ?

Non : les bases sont différentes. — Il n'y a rien à additionner ; on calcule chaque puissance à part, puis on multiplie.

Écris 45 000 en notation scientifique.

4,5 × 10⁴ — La virgule recule de quatre rangs, et l'exposant les compte.

Écris 0,00032 en notation scientifique.

3,2 × 10⁻⁴ — Le nombre est plus petit que 1 : l'exposant est négatif.

Quelle condition porte sur le nombre placé devant la puissance ?

Il est compris entre 1 et 10, dix exclu. — C'est cette contrainte qui rend l'écriture unique.

58,3 × 10⁵ est-il en notation scientifique ?

Non : il faut écrire 5,83 × 10⁶. — Une écriture avec une puissance de dix ne suffit pas : le nombre de devant doit tenir la contrainte.

Qu'appelle-t-on l'ordre de grandeur d'un nombre ?

La puissance de dix seule. — Elle suffit à situer, et c'est tout ce qu'on demande quand on compare des échelles.

Lequel est le plus grand : 9 × 10⁴ ou 2 × 10⁵ ?

2 × 10⁵ — Le premier vaut 90 000, le second 200 000.

Pourquoi, alors que neuf dépasse deux ?

Parce que c'est l'exposant qui décide en premier. — Un rang de dix pèse plus que n'importe quel coefficient compris entre 1 et 10.

Quand regarde-t-on le nombre placé devant ?

Seulement lorsque les exposants sont égaux. — C'est exactement le service que rend la notation scientifique.

10⁻⁵ = 0,00001 — Une puissance de dix est toujours positive : l'exposant dit de quel côté de un l'on se place.

0,0067 = 6,7 × 10⁻³ — Le nombre est plus petit que un, donc l'exposant est négatif. Entre les deux écritures, le facteur est de cent mille.

81 × 4 = 324 — Les bases diffèrent : on calcule chaque puissance à part, puis on multiplie les résultats.

Mathématiques · 3ème · Contrôle n°1

Puissances entières relatives et notation scientifique

55 minutes noté sur 205 exercices

Un contrôle de mathématiques de 55 minutes sur les puissances en troisième : ce que compte un exposant, les trois règles de calcul et leur condition de même base, la notation scientifique et la contrainte qui la rend unique, et la comparaison par ordre de grandeur. Vingt points, barème détaillé, et une correction qui dit pourquoi à chaque question.

Imprimer le contrôle

Deux PDF à imprimer, sur papier A4. Gratuit, sans inscription.

Avant de commencer

L’exposant compte les facteurs : il ne multiplie pas.
Un exposant négatif inverse le nombre ; il ne le rend pas négatif.
Produit : on additionne les exposants. Quotient : on les soustrait. Puissance de puissance : on les multiplie.
Les trois règles ne valent qu’entre puissances de même base : on regarde la base avant l’exposant.
En notation scientifique, le nombre de devant est compris entre 1 et 10, 10 exclu.
Pour comparer, l’exposant décide en premier ; le nombre de devant ne départage que des exposants égaux.

Exercice 1 — Ce que veut dire un exposant

4 pts · 10 min

Interpréter un exposant entier relatif

Donne la valeur ou la réponse demandée.

1.Que compte exactement un exposant ?
1 pt
Voir la correction
Les facteurs
Il ne multiplie pas la base : il dit combien de fois elle apparaît.
2.Combien vaut $2^{5}$  ?
1 pt
Voir la correction
32
Cinq facteurs égaux à 2, et non le produit de 2 par 5.
3.Combien vaut $1 0^{- 3}$  ?
1 pt
Voir la correction
0,001
L’exposant négatif inverse : la virgule se déplace de trois rangs vers la gauche.
4.Combien vaut $3^{0}$  ?
1 pt
Voir la correction
1
Zéro facteur laisse le neutre de la multiplication. C’est la seule valeur qui rende la règle du produit cohérente.

Exercice 2 — Les trois règles

5 pts · 13 min

Appliquer les règles de calcul sur les puissances

Donne le résultat sous forme de puissance quand c’est possible.

1. $1 0^{3} \times 1 0^{4}$
1 pt
Voir la correction
$1 0^{7}$
Les exposants s’ajoutent : c’est la règle du produit.
2. $\frac{1 0 ^{5}}{1 0 ^{2}}$
1 pt
Voir la correction
$1 0^{3}$
Les exposants se soustraient : c’est la règle du quotient.
3. $(1 0^{2})^{3}$
1 pt
Voir la correction
$1 0^{6}$
Les exposants se multiplient : c’est la puissance d’une puissance.
4. $5^{3} \times 5^{2}$
1 pt
Voir la correction
$5^{5}$ , soit 3125
La règle vaut pour toute base, pas seulement pour dix.
5. $2^{3} \times 5^{2}$ se simplifie-t-il en une seule puissance ?
1 pt
Voir la correction
Non : les bases sont différentes.
Il n’y a rien à additionner ; on calcule chaque puissance à part, puis on multiplie.

Exercice 3 — La notation scientifique

4 pts · 11 min

Écrire un nombre en notation scientifique

Écris ou corrige la notation demandée.

1.Écris 45 000 en notation scientifique.
1 pt
Voir la correction
$4, 5 \times 1 0^{4}$
La virgule recule de quatre rangs, et l’exposant les compte.
2.Écris 0,00032 en notation scientifique.
1 pt
Voir la correction
$3, 2 \times 1 0^{- 4}$
Le nombre est plus petit que 1 : l’exposant est négatif.
3.Quelle condition porte sur le nombre placé devant la puissance ?
1 pt
Voir la correction
Il est compris entre 1 et 10, dix exclu.
C’est cette contrainte qui rend l’écriture unique.
4. $58, 3 \times 1 0^{5}$ est-il en notation scientifique ?
1 pt
Voir la correction
Non : il faut écrire $5, 83 \times 1 0^{6}$ .
Une écriture avec une puissance de dix ne suffit pas : le nombre de devant doit tenir la contrainte.

Exercice 4 — Comparer par l'ordre de grandeur

4 pts · 12 min

Comparer deux nombres écrits en notation scientifique

Réponds à chaque question.

1.Qu’appelle-t-on l’ordre de grandeur d’un nombre ?
1 pt
Voir la correction
La puissance de dix seule.
Elle suffit à situer, et c’est tout ce qu’on demande quand on compare des échelles.
2.Lequel est le plus grand : $9 \times 1 0^{4}$ ou $2 \times 1 0^{5}$  ?
1 pt
Voir la correction
$2 \times 1 0^{5}$
Le premier vaut 90 000, le second 200 000.
3.Pourquoi, alors que neuf dépasse deux ?
1 pt
Voir la correction
Parce que c’est l’exposant qui décide en premier.
Un rang de dix pèse plus que n’importe quel coefficient compris entre 1 et 10.
4.Quand regarde-t-on le nombre placé devant ?
1 pt
Voir la correction
Seulement lorsque les exposants sont égaux.
C’est exactement le service que rend la notation scientifique.

Exercice 5 — Trouve l'erreur

3 pts · 9 min

Repérer une écriture fausse et la corriger

Chaque écriture est fausse. Écris la bonne.

1. $1 0^{- 5} = - 100000$
1 pt
Voir la correction
$1 0^{- 5} = 0, 00001$
Une puissance de dix est toujours positive : l’exposant dit de quel côté de un l’on se place.
2. $0, 0067 = 6, 7 \times 1 0^{2}$
1 pt
Voir la correction
$0, 0067 = 6, 7 \times 1 0^{- 3}$
Le nombre est plus petit que un, donc l’exposant est négatif. Entre les deux écritures, le facteur est de cent mille.
3. $3^{4} \times 2^{2} = 6^{6}$
1 pt
Voir la correction
$81 \times 4 = 324$
Les bases diffèrent : on calcule chaque puissance à part, puis on multiplie les résultats.

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 5 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1Le sens de l’exposant, y compris nul et négatif

4 points — 1 par question

Point perdu si : Une puissance d’exposant nul donnée pour zéro.

Ex.2La règle appliquée aux exposants, jamais à la base

5 points — 1 par question

Point perdu si : Deux bases différentes combinées comme si elles étaient identiques.

Ex.3Le nombre de devant contrôlé après le calcul

4 points — 1 par question

Point perdu si : Une écriture avec puissance de 10 prise pour une notation scientifique.

Ex.4La comparaison menée sur les exposants d’abord

4 points — 1 par question

Point perdu si : Deux coefficients comparés alors que les exposants diffèrent.

Ex.5L’erreur repérée, et l’écriture juste donnée

3 points — 1 par ligne

Point perdu si : Le signe de l’exposant confondu avec le signe du nombre.

Et maintenant ?

16 à 20: Les puissances sont maîtrisées. Entraîne-toi maintenant aux problèmes d'unités — nanomètre, année-lumière, octet : c'est là que le chapitre sert vraiment, et c'est sous cette forme qu'il tombe au brevet.
10 à 15: Refais l'exercice 3 en vérifiant à chaque fois le nombre de devant. Ce contrôle rattrape à lui seul la moitié des erreurs du chapitre.
moins de 10: Reprends la fiche de cours et retiens une phrase : les règles portent sur les exposants, jamais sur la base.

Refaire avec d'autres phrases

Mêmes notions, mêmes exigences, énoncés différents. À passer quelques jours plus tard, une fois celui-ci corrigé.

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