Puissances entières relatives et notation scientifique

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Pour chaque question, coche la seule réponse juste.

1. 1.$7^3$ est égal à…

   0.5 pt
   • $7\times 3$
   • $7\times 7\times 7$
   • $7+7+7$
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   $7\times 7\times 7$

   L’exposant 3 compte trois facteurs égaux à 7 : $7^3=343$, rien à voir avec $7\times 3=21$.

2. 2.$10^{-4}$ est égal à…

   0.5 pt
   • $-10000$
   • 0,0001
   • 0,00001
   Voir la correction

   0,0001

   Exposant $-4$ : la virgule part de 1 et se déplace de quatre rangs vers la gauche. Le résultat est petit, mais positif.

3. 3.$12^0$ est égal à…

   0.5 pt
   • 0
   • 1
   • 12
   Voir la correction

   1

   Toute puissance d’exposant 0 vaut 1, quelle que soit la base : zéro facteur laisse le neutre de la multiplication.

4. 4.$4^{-1}$ est égal à…

   0.5 pt
   • $-4$
   • 0,25
   • $-0,25$
   Voir la correction

   0,25

   $4^{-1}=\frac{1}{4}$, l’inverse de 4, soit 0,25. L’exposant négatif inverse ; il ne change pas le signe.

5. 5.Laquelle de ces écritures est une notation scientifique ?

   0.5 pt
   • $0,7\times 10^5$
   • $7\times 10^4$
   • $70\times 10^3$
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   $7\times 10^4$

   Le nombre de devant doit être compris entre 1 et 10, 10 exclu : 0,7 est trop petit, 70 trop grand. Les trois écritures valent pourtant 70 000.

6. 6.$6^4\times 6^3$ est égal à…

   0.5 pt
   • $6^7$
   • $6^{12}$
   • $36^7$
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   $6^7$

   Produit de deux puissances de même base : on additionne les exposants, $4+3=7$. La base 6 ne change pas.

7. 7.Laquelle de ces expressions ne se ramène pas à une seule puissance par les règles du cours ?

   0.5 pt
   • $3^5\times 3^2$
   • $3^5\times 4^2$
   • $(3^5{)}^2$
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   $3^5\times 4^2$

   Les bases 3 et 4 sont différentes : aucune règle ne s’applique, on calcule chaque puissance à part. Les deux autres donnent $3^7$ et $3^{10}$.

8. 8.Dans un énoncé, quel indice annonce le plus sûrement un calcul de puissances de 10 ?

   0.5 pt
   • un angle droit codé
   • des zéros en file dans un nombre
   • un pourcentage
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   des zéros en file dans un nombre

   Dès que compter les zéros devient pénible, les puissances de 10 raccourcissent l’écriture et rendent l’ordre de grandeur lisible.

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Complète le texte avec les mots de la banque. Trois mots ne servent pas.

1. 1.Dans $a^n$, la lettre $n$ porte le nom d’.

   0.5 pt
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   exposant

   Le nombre écrit en haut est l’exposant : il compte les facteurs ; $a$ est la base, le facteur qui se répète.

2. 2.Produit de deux puissances de même base : on les exposants.

   0.5 pt
   Voir la correction

   additionne

   Mettre bout à bout deux listes de facteurs égaux, c’est ajouter leurs longueurs : $a^m\times a^n=a^{m+n}$.

3. 3.Quotient de deux puissances de même base : on les exposants.

   0.5 pt
   Voir la correction

   soustrait

   Les facteurs communs se simplifient : il en reste la différence, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$.

4. 4.Puissance d’une puissance : on les exposants.

   0.5 pt
   Voir la correction

   multiplie

   $(a^m{)}^n$ répète $n$ fois un groupe de $m$ facteurs : $m\times n$ facteurs en tout.

5. 5.Pour additionner deux puissances, il n’existe règle sur les exposants.

   0.5 pt
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   aucune

   Une somme de puissances ne se simplifie pas par les exposants : on repasse en écriture décimale, ou on met en facteur la plus petite puissance.

6. 6.Dans $3,2\times 10^{-5}$, le facteur $10^{-5}$ donne à lui seul l’ordre de .

   0.5 pt
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   grandeur

   On laisse de côté le nombre de devant et on garde la puissance de 10 : c’est elle qui situe le nombre et permet de comparer des échelles.

Écrire en notation scientifique

Écris chaque nombre sous la forme demandée.

1. 1.Écris $830000$ en notation scientifique.

   1 pt
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   $8,3\times 10^5$

   La virgule recule de cinq rangs pour ne laisser que 8 devant elle ; le nombre est grand, l’exposant est positif.

2. 2.Écris $0,00061$ en notation scientifique.

   1 pt
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   $6,1\times 10^{-4}$

   La virgule avance de quatre rangs pour arriver après le 6 ; le nombre est plus petit que 1, l’exposant est négatif.

3. 3.Écris $4,7\times 10^3$ en écriture décimale.

   0.5 pt
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   4 700

   Exposant 3 : la virgule avance de trois rangs vers la droite, on complète par des zéros.

4. 4.Écris $2,05\times 10^{-2}$ en écriture décimale.

   0.5 pt
   Voir la correction

   0,0205

   Exposant $-2$ : la virgule recule de deux rangs vers la gauche ; le nombre devient plus petit que 1.

5. 5.$0,39\times 10^6$ est-il une notation scientifique ? Sinon, écris-la.

   1 pt
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   Non : $3,9\times 10^5$.

   0,39 n’est pas entre 1 et 10. On écrit $0,39=3,9\times 10^{-1}$, et ce $10^{-1}$ rejoint la puissance : $6-1=5$.

6. 6.Écris $10^{-6}$ en écriture décimale.

   0.5 pt
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   0,000001

   Exposant $-6$ : le 1 se retrouve au sixième rang après la virgule, soit cinq zéros entre la virgule et lui.

Calculer une puissance

Relie chaque puissance à sa valeur par un trait, puis recopie la lettre dans la case. Une valeur ne sert pas.

• Aégal à 81
• Bégal à 0,125
• Cégal à 100 000
• Dégal à 1
• Eégal à 0,01
• Fégal à 12

1. 1.$10^5$

   0.5 pt
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   C

   Exposant 5 : un 1 suivi de cinq zéros, soit 100 000.

2. 2.$10^{-2}$

   0.5 pt
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   E

   Exposant $-2$ : $\frac{1}{100}$, la virgule se déplace de deux rangs vers la gauche, soit 0,01.

3. 3.$2^{-3}$

   0.5 pt
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   B

   $2^{-3}=\frac{1}{2^3}=\frac{1}{8}$, et $\frac{1}{8}$ s’écrit 0,125.

4. 4.$5^0$

   0.5 pt
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   D

   Toute puissance d’exposant 0 vaut 1 : c’est la seule valeur compatible avec la règle du produit.

5. 5.$3^4$

   0.5 pt
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   A

   Quatre facteurs égaux à 3 : $3\times 3\times 3\times 3=81$. La valeur 12 est l’intrus, le piège de $3\times 4$.

Situer par l'ordre de grandeur

Voici quelques tailles du cours, en mètres : un atome mesure environ $10^{-10}$ m, une bactérie $10^{-6}$ m, la Terre $10^7$ m environ, et la distance de la Terre au Soleil vaut $150000000000$ m. L’axe ci-dessous est gradué en puissances de 10 ; la position « toi », environ 1 m, est donnée en exemple.

1. 1.Écris la distance Terre–Soleil en notation scientifique.

   1 pt
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   $1,5\times 10^{11}$ m

   Douze chiffres avant la virgule, donc onze rangs de déplacement pour ne laisser que le 1 devant elle.

2. 2.Quelle puissance de 10 situe cette distance sur l’axe ?

   0.5 pt
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   $10^{11}$ m

   On garde la puissance de 10 de la notation scientifique, en laissant le 1,5 de côté.

3. 3.Place sur l’axe les lettres A (atome), B (bactérie), T (Terre) et S (distance Terre–Soleil).

   2 pt
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   A en $10^{-10}$, B en $10^{-6}$, T en $10^7$, S en $10^{11}$.

   Chaque lettre se place à la graduation de son ordre de grandeur ; T et S tombent sur des graduations impaires, non écrites, qu’il faut compter. 0,5 point par lettre.

4. 4.Combien de graduations séparent « toi » de la Terre ? Combien de fois la Terre est-elle plus grande que toi, en ordre de grandeur ?

   1 pt
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   Sept graduations : environ $10^7$ fois, soit dix millions de fois.

   Chaque graduation multiplie par 10 ; sept graduations multiplient par $10^7$. C’est aussi le quotient $\frac{10^7}{10^0}=10^7$.

5. 5.Deux micro-organismes imaginaires mesurent $9,5\times 10^{-7}$ m et $2\times 10^{-6}$ m. Lequel est le plus grand ?

   1 pt
   Voir la correction

   Celui de $2\times 10^{-6}$ m.

   L’exposant décide en premier : $-6$ est plus grand que $-7$. En écriture décimale, 0,000002 m contre 0,00000095 m.

6. 6.Écris la taille de l’atome en écriture décimale.

   0.5 pt
   Voir la correction

   0,0000000001 m

   Exposant $-10$ : le 1 est au dixième rang après la virgule, précédé de neuf zéros.