Puissances entières relatives et notation scientifique

Repérer et corriger une erreur

La copie du document 1 contient quatre erreurs, et une seule ligne de calcul juste. Pour chaque erreur, indique la ligne, explique ce qui est faux et écris le résultat juste.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 1 — la base modifiée.

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   Les bases ont été multipliées. On garde la base 2 et l’on additionne les exposants : $2^7$, soit 128.

   Les règles portent sur les exposants, jamais sur la base. $4^7$ vaut 16 384, cent vingt-huit fois trop. 0,5 point pour l’erreur expliquée, 0,5 pour le résultat juste.

2. 2.Ligne 3 — la mauvaise opération sur les exposants.

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   Les exposants ont été additionnés au lieu d’être multipliés : $(10^3{)}^4=10^{12}$.

   $(10^3{)}^4$ répète quatre fois trois facteurs 10 : douze facteurs. Additionner donne la règle du produit, pas celle de la puissance de puissance.

3. 3.Ligne 4 — le signe de l’exposant.

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   0,00072 est plus petit que 1, l’exposant est négatif : $7,2\times 10^{-4}$.

   La virgule avance de quatre rangs pour donner 7,2 ; il faut la faire reculer d’autant. Entre $10^4$ et $10^{-4}$, le facteur est de cent millions.

4. 4.Ligne 6 — une conclusion trop rapide.

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   35 n’est pas entre 1 et 10 : le produit s’écrit $3,5\times 10^{10}$.

   Le calcul de la ligne 5 est juste, c’est la conclusion qui est fausse : $35=3,5\times 10$, et ce 10 rejoint la puissance, $9+1=10$.

Argumenter et justifier

Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux, puis justifie : par une démonstration si elle est vraie, par un contre-exemple ou un calcul si elle est fausse.

1. 1.« On aurait aussi bien pu décider que $a^0=0$. »

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   Faux : avec $a^0=0$, $a^3\times a^0$ vaudrait 0, alors que la règle du produit donne $a^{3+0}=a^3$.

   Seule la valeur 1 laisse la règle du produit vraie avec un exposant nul : la convention $a^0=1$ n’est pas arbitraire, elle est imposée.

2. 2.« Si l’on double l’exposant de $10^n$, on double ce nombre. »

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   Faux : $10^6=(10^3{)}^2$ vaut 1 000 fois $10^3$, et non 2 fois.

   Doubler l’exposant, c’est élever au carré, par la règle de la puissance de puissance : $10^3$ devient $10^3\times 10^3$.

3. 3.« Entre deux nombres en notation scientifique de même exposant, le plus grand est celui dont le nombre de devant est le plus grand. »

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   Vrai : $a\times 10^n$ et $b\times 10^n$ sont $a$ et $b$ multipliés par le même nombre positif $10^n$, ce qui conserve leur ordre.

   Un exemple ne suffirait pas : l’argument doit valoir pour tous les nombres de devant et tous les exposants. Multiplier par un même nombre positif ne change pas l’ordre.

4. 4.« Multiplier un nombre par $10^{-3}$, c’est le diviser par 1 000. »

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   Vrai : $10^{-3}=\frac{1}{10^3}=\frac{1}{1000}$, et multiplier par l’inverse de 1 000, c’est diviser par 1 000.

   C’est la définition de l’exposant négatif qui le démontre, pour tout nombre : la virgule recule de trois rangs.

5. 5.« $5^3\times 2^3$ ne peut pas être une puissance de 10, puisque les bases sont différentes. »

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   Faux : $5^3\times 2^3=125\times 8=1000=10^3$.

   Bases différentes, les règles du cours ne s’appliquent pas : on calcule chaque puissance à part. Regroupés deux à deux, les facteurs donnent trois fois $5\times 2$, soit trois facteurs 10.

Résoudre un problème

On pose 1 grain de riz sur la première case d’un échiquier de 64 cases, 2 sur la deuxième, 4 sur la troisième, et ainsi de suite : chaque case porte le double de la précédente. On suppose qu’un grain pèse $3\times 10^{-2}$ g (valeur choisie pour l’exercice) et l’on rappelle que 1 tonne = $10^6$ g.

1. 1.Explique pourquoi la case 64 porte $2^{63}$ grains.

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   La case 1 porte $2^0=1$ grain ; chaque case suivante double, donc la case $n$ porte $2^{n-1}$ grains, et la case 64 en porte $2^{63}$.

   De la case 1 à la case 64, il y a 63 doublements : 63 facteurs 2. Le point de départ $2^0=1$ explique le décalage d’un rang.

2. 2.Justifie que $2^{63}=2^3\times (2^{10}{)}^6$. Sachant que $2^{10}=1024$, remplace $2^{10}$ par $10^3$ pour estimer $2^{63}$, puis donne son ordre de grandeur.

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   $3+10\times 6=63$ ; $2^{63}\approx 8\times (10^3{)}^6=8\times 10^{18}$ ; ordre de grandeur $10^{18}$.

   Puissance de puissance : $10\times 6=60$, puis produit : $3+60=63$. Le remplacement donne une estimation un peu basse, puisque 1 024 dépasse 1 000. 0,5 point par étape.

3. 3.Sur quelle case le nombre de grains dépasse-t-il un million ($10^6$) pour la première fois ? Justifie.

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   Sur la case 21, qui porte $2^{20}$ grains.

   $2^{20}=(2^{10}{)}^2=1024^2=1048576$ dépasse $10^6$, alors que $2^{19}$, sa moitié, vaut 524 288 et reste en dessous.

4. 4.La calculatrice donne $2^{63}\approx 9,2\times 10^{18}$. Calcule la masse des grains de la case 64, en grammes puis en tonnes, en notation scientifique.

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   $2,76\times 10^{17}$ g, soit $2,76\times 10^{11}$ t.

   $9,2\times 3=27,6$ et $18+(-2)=16$, d’où $27,6\times 10^{16}$, réajusté en $2,76\times 10^{17}$ g. Puis on divise par $10^6$ : $17-6=11$.

5. 5.Imaginons une récolte de riz de $5\times 10^8$ tonnes par an (valeur fictive). Combien d’années de cette récolte faudrait-il pour la seule case 64 ?

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   $5,52\times 10^2$, soit environ 550 ans.

   $\frac{2,76\times 10^{11}}{5\times 10^8}$ : $2,76:5=0,552$ et $11-8=3$, d’où $0,552\times 10^3=552$. Plus de cinq siècles de récolte pour une seule case.

Raisonner sur des ordres de grandeur

On veut construire une maquette où les tailles du document 2 sont toutes agrandies du même facteur, de sorte que l’atome mesure 1 mm, soit $10^{-3}$ m. Réponds en écrivant les calculs sur les puissances de 10.

1. 1.Par quel facteur faut-il multiplier la taille de l’atome pour qu’il mesure $10^{-3}$ m ?

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   Par $10^7$.

   Le facteur est le quotient $\frac{10^{-3}}{10^{-10}}$ : $-3-(-10)=7$. Sept rangs d’écart, dix millions de fois.

2. 2.Avec ce facteur, quelle taille aurait la bactérie dans la maquette ?

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   10 m.

   $10^{-6}\times 10^7=10^1$ : dans la maquette, une bactérie de dix mètres face à un atome d’un millimètre.

3. 3.Quelle taille aurait la Terre dans la maquette ? Combien de fois la vraie distance Terre–Soleil cela représente-t-il ?

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   $10^{14}$ m, soit environ 667 fois la vraie distance Terre–Soleil.

   $10^7\times 10^7=10^{14}$ m. Puis $\frac{10^{14}}{1,5\times 10^{11}}=\frac{1}{1,5}\times 10^3\approx 667$ : la Terre de la maquette dépasserait de loin la vraie distance Terre–Soleil.

4. 4.Un camarade affirme : « Dans cette maquette, la distance Terre–Soleil tiendrait au moins sur un terrain de sport. » Réfute-le par un ordre de grandeur.

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   Elle mesurerait $1,5\times 10^{18}$ m, des milliards de milliards de mètres : aucun terrain n’en approche.

   $1,5\times 10^{11}\times 10^7=1,5\times 10^{18}$. L’atome et la distance Terre–Soleil sont séparés de 21 rangs : aucune échelle unique ne les fait tenir ensemble.