ABC est rectangle en A, AB = 20 cm et AC = 21 cm. Calcule BC.

29 cm — 400 + 441 = 841, et √841 = 29.

ABC est rectangle en A, BC = 61 cm et AB = 11 cm. Calcule AC.

60 cm — 3721 - 121 = 3600, et √3600 = 60.

Comment sait-on s'il faut additionner ou soustraire ?

Selon que l'hypoténuse est cherchée ou connue. — Elle reste seule de son côté du signe égal : c'est la seule chose à retenir.

Que vaut un angle droit repéré à l'œil sur une figure ?

Rien : il doit être codé, écrit dans l'énoncé, ou démontré. — Un dessin est convaincant et ne prouve pas.

Quel geste précède toute application de la réciproque ?

Ranger les trois longueurs par ordre croissant. — Le plus grand côté est le seul candidat à l'hypoténuse.

AB = 20, AC = 99, BC = 101. Le triangle est-il rectangle ?

Oui, rectangle en A. — 101² = 10201 d'un côté ; 400 + 9801 = 10201 de l'autre.

AB = 12, AC = 14, BC = 19. Le triangle est-il rectangle ?

Non. — 361 d'un côté ; 144 + 196 = 340 de l'autre. Les deux diffèrent.

Pourquoi les deux calculs se mènent-ils séparément ?

Écrire l'égalité d'emblée supposerait vrai ce qu'on veut établir. — On calcule deux nombres, puis on constate.

Quelle longueur faut-il calculer en premier ?

La diagonale de la base. — Elle sert de côté au second triangle rectangle : sans elle, rien ne s'enchaîne.

Calcule cette diagonale de base.

5 cm — 9 + 16 = 25, et √25 = 5. C'est le triplet (3 ; 4 ; 5).

Dans le second triangle rectangle, où se trouve l'angle droit ?

Entre la diagonale de la base et l'arête verticale. — L'arête verticale est perpendiculaire au plan de la base, donc à toute droite de ce plan.

Calcule la diagonale du pavé.

13 cm — 25 + 144 = 169, et √169 = 13. C'est le triplet (5 ; 12 ; 13).

Pourquoi ne pas additionner directement les carrés des trois dimensions ?

Le résultat serait juste par hasard, et la méthode ne se transpose ni à la pyramide ni au cône. — Ce qui est évalué, c'est le repérage des deux triangles.

Que vise l'apothème d'une pyramide ?

Le milieu d'un côté de la base. — C'est la hauteur d'une face latérale.

Un sommet de la base. — Deux cibles, donc deux triangles rectangles, donc deux calculs différents.

Pourquoi les confond-on si souvent ?

Parce que sur un dessin en perspective, les deux se ressemblent. — Seul l'énoncé, ou le codage, dit lequel est en jeu.

Que faut-il écrire avant de mener le calcul dans un solide ?

Le nom des deux triangles rectangles, et l'endroit de chaque angle droit. — C'est cette phrase qui porte les points, pas l'égalité qui la suit.

« RST est rectangle en R et ST est connue, donc RS² = ST² + RT². »

L'hypoténuse reste seule : RS² = ST² - RT². — La formule est mémorisée dans un seul sens et recopiée sans regarder ce qui est cherché.

« Avec 15, 8 et 17, je teste si 15² = 8² + 17². »

Le plus grand côté est 17 : c'est lui qu'il faut isoler. — Ranger les trois longueurs avant de comparer évite cette erreur entièrement.

« Pour le triangle qui porte l'apothème, je prends le côté de la base, soit 10 cm. »

Il fallait sa moitié, soit 5 cm : l'apothème vise le milieu. — Le côté entier appartient au triangle de l'arête, pas à celui-là.

Mathématiques · 3ème · Contrôle n°1

Théorème de Pythagore et sa réciproque

55 minutes noté sur 205 exercices

Un contrôle de mathématiques de 55 minutes sur Pythagore en troisième : le théorème et sa réciproque, le passage à l'espace par deux triangles rectangles au lieu d'un, l'apothème distingué de l'arête dans une pyramide, et les arrondis qu'on ne pose qu'à la dernière ligne. Vingt points, barème détaillé, et une correction qui dit pourquoi à chaque question.

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Deux PDF à imprimer, sur papier A4. Gratuit, sans inscription.

Avant de commencer

L’hypoténuse reste seule de son côté du signe égal : si elle est connue, on soustrait.
Avant d’appliquer la réciproque, on range les trois longueurs : le plus grand côté est le seul candidat.
Dans l’espace, on ne passe jamais directement des trois dimensions au résultat : on repère deux triangles rectangles.
L’apothème vise le milieu d’un côté, l’arête vise un sommet. Deux cibles, deux triangles, deux calculs.
Une diagonale intermédiaire ne s’arrondit pas : elle sert au calcul suivant.
Un dessin ne prouve rien : un angle droit est codé, écrit, ou démontré.

Exercice 1 — Le sens du théorème

4 pts · 10 min

Employer le théorème dans le bon sens

Réponds à chaque question.

1. $A B C$ est rectangle en $A$ , $A B = 20$ cm et $A C = 21$ cm. Calcule $B C$ .
1 pt
Voir la correction
29 cm
$400 + 441 = 841$ , et $841 = 29$ .
2. $A B C$ est rectangle en $A$ , $B C = 61$ cm et $A B = 11$ cm. Calcule $A C$ .
1 pt
Voir la correction
60 cm
$3721 - 121 = 3600$ , et $3600 = 60$ .
3.Comment sait-on s’il faut additionner ou soustraire ?
1 pt
Voir la correction
Selon que l’hypoténuse est cherchée ou connue.
Elle reste seule de son côté du signe égal : c’est la seule chose à retenir.
4.Que vaut un angle droit repéré à l’œil sur une figure ?
1 pt
Voir la correction
Rien : il doit être codé, écrit dans l’énoncé, ou démontré.
Un dessin est convaincant et ne prouve pas.

Exercice 2 — La réciproque

4 pts · 11 min

Démontrer qu'un triangle est rectangle

Mène les deux calculs, compare, puis conclus.

1.Quel geste précède toute application de la réciproque ?
1 pt
Voir la correction
Ranger les trois longueurs par ordre croissant.
Le plus grand côté est le seul candidat à l’hypoténuse.
2. $A B = 20$ , $A C = 99$ , $B C = 101$ . Le triangle est-il rectangle ?
1 pt
Voir la correction
Oui, rectangle en $A$ .
$10 1^{2} = 10201$ d’un côté ; $400 + 9801 = 10201$ de l’autre.
3. $A B = 12$ , $A C = 14$ , $B C = 19$ . Le triangle est-il rectangle ?
1 pt
Voir la correction
Non.
$361$ d’un côté ; $144 + 196 = 340$ de l’autre. Les deux diffèrent.
4.Pourquoi les deux calculs se mènent-ils séparément ?
1 pt
Voir la correction
Écrire l’égalité d’emblée supposerait vrai ce qu’on veut établir.
On calcule deux nombres, puis on constate.

Exercice 3 — Dans l'espace : deux triangles au lieu d'un

5 pts · 13 min

Appliquer Pythagore deux fois dans un solide

Un pavé droit mesure 3 cm sur 4 cm sur 12 cm. On cherche la diagonale qui joint deux sommets opposés.

1.Quelle longueur faut-il calculer en premier ?
1 pt
Voir la correction
La diagonale de la base.
Elle sert de côté au second triangle rectangle : sans elle, rien ne s’enchaîne.
2.Calcule cette diagonale de base.
1 pt
Voir la correction
5 cm
$9 + 16 = 25$ , et $25 = 5$ . C’est le triplet (3 ; 4 ; 5).
3.Dans le second triangle rectangle, où se trouve l’angle droit ?
1 pt
Voir la correction
Entre la diagonale de la base et l’arête verticale.
L’arête verticale est perpendiculaire au plan de la base, donc à toute droite de ce plan.
4.Calcule la diagonale du pavé.
1 pt
Voir la correction
13 cm
$25 + 144 = 169$ , et $169 = 13$ . C’est le triplet (5 ; 12 ; 13).
5.Pourquoi ne pas additionner directement les carrés des trois dimensions ?
1 pt
Voir la correction
Le résultat serait juste par hasard, et la méthode ne se transpose ni à la pyramide ni au cône.
Ce qui est évalué, c’est le repérage des deux triangles.

Exercice 4 — Dans une pyramide

4 pts · 12 min

Distinguer apothème et arête dans une pyramide

Réponds à chaque question.

1.Que vise l’apothème d’une pyramide ?
1 pt
Voir la correction
Le milieu d’un côté de la base.
C’est la hauteur d’une face latérale.
2.Et l’arête ?
1 pt
Voir la correction
Un sommet de la base.
Deux cibles, donc deux triangles rectangles, donc deux calculs différents.
3.Pourquoi les confond-on si souvent ?
1 pt
Voir la correction
Parce que sur un dessin en perspective, les deux se ressemblent.
Seul l’énoncé, ou le codage, dit lequel est en jeu.
4.Que faut-il écrire avant de mener le calcul dans un solide ?
1 pt
Voir la correction
Le nom des deux triangles rectangles, et l’endroit de chaque angle droit.
C’est cette phrase qui porte les points, pas l’égalité qui la suit.

Exercice 5 — Trouve l'erreur

3 pts · 9 min

Repérer une erreur de méthode et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris la réponse juste.

1.« $R S T$ est rectangle en $R$ et $S T$ est connue, donc $R S^{2} = S T^{2} + R T^{2}$ . »
1 pt
Voir la correction
L’hypoténuse reste seule : $R S^{2} = S T^{2} - R T^{2}$ .
La formule est mémorisée dans un seul sens et recopiée sans regarder ce qui est cherché.
2.« Avec 15, 8 et 17, je teste si $1 5^{2} = 8^{2} + 1 7^{2}$ . »
1 pt
Voir la correction
Le plus grand côté est 17 : c’est lui qu’il faut isoler.
Ranger les trois longueurs avant de comparer évite cette erreur entièrement.
3.« Pour le triangle qui porte l’apothème, je prends le côté de la base, soit 10 cm. »
1 pt
Voir la correction
Il fallait sa moitié, soit 5 cm : l’apothème vise le milieu.
Le côté entier appartient au triangle de l’arête, pas à celui-là.

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 5 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1Le sens du théorème choisi d’après ce qui est cherché

4 points — 1 par question

Point perdu si : Une addition là où l’hypoténuse était connue : il fallait soustraire.

Ex.2Les trois longueurs rangées avant la comparaison

4 points — 1 par question

Point perdu si : La réciproque appliquée sans que le plus grand côté ait été identifié.

Ex.3Les deux triangles rectangles nommés avant tout calcul

5 points — 1 par question

Point perdu si : Les trois dimensions additionnées d’un coup : juste par hasard, et intransposable.

Ex.4L’apothème et l’arête distingués

4 points — 1 par question

Point perdu si : Le triangle de la pyramide choisi sans dire où se trouve son angle droit.

Ex.5L’erreur repérée, et le calcul juste écrit

3 points — 1 par ligne

Point perdu si : Le côté entier de la base employé là où sa moitié était attendue.

Et maintenant ?

16 à 20: Pythagore est maîtrisé dans les deux dimensions. Entraîne-toi maintenant aux solides du brevet — pavé, pyramide, cône : la difficulté n'est jamais la formule, elle est de trouver les deux triangles.
10 à 15: Refais l'exercice 3 en nommant les deux triangles et leurs angles droits avant d'écrire la moindre égalité. C'est ce repérage qui est noté, pas le calcul.
moins de 10: Reprends la fiche de cours et retiens la règle du sens : l'hypoténuse reste seule de son côté. Connue, on soustrait ; cherchée, on additionne.

Refaire avec d'autres phrases

Mêmes notions, mêmes exigences, énoncés différents. À passer quelques jours plus tard, une fois celui-ci corrigé.

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