Théorème de Pythagore et sa réciproque

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Pour chaque situation, indique l’outil à utiliser — théorème de Pythagore, réciproque ou trigonométrie — et justifie en une phrase. Ne fais aucun calcul.

1. 1.On veut savoir si le cadre d’une porte est d’équerre ; on a mesuré sa largeur, sa hauteur et sa diagonale.

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   La réciproque : être d’équerre, c’est avoir un angle droit, et on le prouve avec trois mesures.

   « Être d’équerre », c’est avoir un angle droit ; le prouver à partir de trois mesures est le rôle de la réciproque, jamais celui du théorème, qui suppose l’angle droit acquis.

2. 2.Un toboggan de 3 m de long fait un angle de 40° avec le sol ; on demande la hauteur de son sommet.

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   La trigonométrie : un angle figure dans les données.

   Avec une seule longueur et un angle, Pythagore ne peut rien : il lui faut deux côtés. Vu de l’angle de 40°, la hauteur est opposée et le toboggan est l’hypoténuse.

3. 3.Une cycliste roule 6 km vers l’ouest, puis 11 km vers le sud ; on demande sa distance à vol d’oiseau à son point de départ.

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   Le théorème de Pythagore : l’ouest et le sud sont perpendiculaires, et l’on cherche l’hypoténuse à partir de deux longueurs.

   Aucun triangle n’est dessiné, mais l’énoncé place l’angle droit là où la cycliste change de direction. On ne connaît que des longueurs.

4. 4.On connaît la diagonale et la largeur d’un écran rectangulaire ; on demande sa hauteur.

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   Le théorème de Pythagore, avec une soustraction : la diagonale est l’hypoténuse, et elle est connue.

   Largeur et hauteur forment l’angle droit du rectangle ; la diagonale lui est opposée. Connue, elle reste seule de son côté et l’on soustrait.

5. 5.Un câble de 13 m relie le sommet d’un mât vertical de 12 m au sol ; on demande la distance du piquet au pied du mât, puis l’angle du câble avec le sol.

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   Le théorème de Pythagore pour la distance, puis la trigonométrie pour l’angle.

   Les deux questions n’appellent pas le même outil : que des longueurs d’abord, puis un angle. C’est l’enchaînement le plus fréquent au brevet.

Démontrer et rédiger

Sur la figure, $H$ est un point du segment $[AB]$ et la droite $(CH)$ est perpendiculaire à $(AB)$. On donne $AH=3,6$ cm, $HB=6,4$ cm et $CH=4,8$ cm.

1. 1.Calcule $AC$.

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   $A{C}^2=A{H}^2+H{C}^2=3,6^2+4,8^2=12,96+23,04=36$, d’où $AC=6$ cm.

   Le triangle $AHC$ est rectangle en $H$, angle codé ; $[AC]$ lui est opposé, et il est cherché : on additionne. Le correcteur attend le nom du triangle et la position de l’angle droit avant l’égalité.

2. 2.Calcule $BC$.

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   $B{C}^2=B{H}^2+H{C}^2=6,4^2+4,8^2=40,96+23,04=64$, d’où $BC=8$ cm.

   Même raisonnement dans le triangle $BHC$, rectangle en $H$ : l’angle droit en $H$ appartient aux deux triangles, puisque $(CH)$ est perpendiculaire à $(AB)$.

3. 3.Quelle est la nature du triangle $ABC$ ? Démontre-le.

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   $AB=3,6+6,4=10$ cm, plus grand côté ; $A{B}^2=100$ et $A{C}^2+B{C}^2=36+64=100$ : d’après la réciproque de Pythagore, $ABC$ est rectangle en $C$.

   L’angle en $C$ n’est pas codé : la figure ne suffit pas, il faut la réciproque. Le sommet de l’angle droit est celui qui est opposé au plus grand côté $[AB]$.

Calculer une longueur, puis un angle

$MNP$ est un triangle rectangle en $N$ tel que $MP=6,5$ cm et $MN=1,6$ cm.

1. 1.Calcule $NP$.

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   $N{P}^2=M{P}^2-M{N}^2=6,5^2-1,6^2=42,25-2,56=39,69$, d’où $NP=\sqrt{39,69}=6,3$ cm.

   $[MP]$ est l’hypoténuse, opposée à l’angle droit en $N$ ; elle est connue, donc on soustrait.

2. 2.Quel rapport trigonométrique permet de calculer l’angle $\widehat{MPN}$ avec les seules longueurs de l’énoncé ? Justifie.

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   Le sinus : vu de $P$, $[MN]$ est le côté opposé et $[MP]$ l’hypoténuse, deux longueurs données par l’énoncé.

   Travailler avec les données de l’énoncé évite de propager une éventuelle erreur de la question a. La tangente, avec $NP$, donnerait le même angle.

3. 3.Calcule la mesure de l’angle $\widehat{MPN}$, arrondie au degré.

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   $\sin \widehat{MPN}=\frac{MN}{MP}=\frac{1,6}{6,5}\approx 0,246$, d’où $\widehat{MPN}\approx 14$°.

   La touche inverse de la calculatrice donne environ 14,25°, soit 14° au degré près. Avec la tangente, $\frac{1,6}{6,3}$, on retrouve le même angle.

Démontrer et rédiger

Lis le document 1, puis réponds en rédigeant chaque démonstration.

1. 1.Le premier coin, en $B$, est-il droit ? Rédige la démonstration.

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   $A{C}^2=1,69$ et $A{B}^2+B{C}^2=0,5^2+1,2^2=0,25+1,44=1,69$ : d’après la réciproque, $ABC$ est rectangle en $B$, le coin est droit.

   $[AC]$ est le plus grand côté, seul candidat à l’hypoténuse. Les longueurs sont celles du triplet (5 ; 12 ; 13) divisées par 10. Le sommet de l’angle droit, $B$, est bien opposé au plus grand côté $[AC]$.

2. 2.Le second coin, en $E$, est-il droit ? Justifie.

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   Non : $D{F}^2=3,24$, mais $D{E}^2+E{F}^2=0,64+2,25=2,89$ ; le coin n’est pas droit.

   Si $DEF$ était rectangle, son hypoténuse serait $[DF]$ et le théorème de Pythagore imposerait l’égalité ; ce n’est pas le cas. La ligne 6 du carnet ne prouvait rien.

3. 3.Sans changer $DE$ ni $EF$, quelle longueur $DF$ faudrait-il mesurer pour que le coin soit droit ?

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   $DF=\sqrt{2,89}=1,7$ m, soit 10 cm de moins que la mesure de Sami.

   Pour que le coin soit droit, $[DF]$ doit être l’hypoténuse : son carré est la somme des carrés des deux côtés de l’angle droit. C’est le triplet (8 ; 15 ; 17) divisé par 10.

Raisonner dans l'espace

Un objet de décoration a la forme d’une pyramide régulière $SABCD$ à base carrée, de côté 16 cm et de hauteur $SH=15$ cm (document 2). On veut calculer son apothème $SI$, puis la longueur de son arête $[SB]$.

1. 1.Pourquoi l’angle $\widehat{SHI}$ est-il droit ?

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   $(SH)$, hauteur de la pyramide, est perpendiculaire au plan de la base, donc à $(HI)$.

   Sur une figure en perspective, l’angle droit ne se voit pas : il se justifie. La hauteur d’une pyramide est perpendiculaire à toute droite de la base passant par son pied $H$.

2. 2.Calcule $HI$.

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   $HI=8$ cm : la moitié de $AB$.

   $H$ est le centre du carré et $I$ le milieu de $[BC]$ : $[HI]$ joint le centre au milieu d’un côté, sa longueur est la moitié de 16 cm.

3. 3.Calcule l’apothème $SI$.

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   $S{I}^2=S{H}^2+H{I}^2=15^2+8^2=225+64=289$, d’où $SI=17$ cm.

   Dans $SHI$, rectangle en $H$, l’apothème est l’hypoténuse du triangle $SHI$ : on additionne. (8 ; 15 ; 17) est un triplet pythagoricien du cours.

4. 4.Dans le triangle $HIB$, rectangle en $I$, que vaut $H{B}^2$ ? Ne prends pas la racine.

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   $H{B}^2=H{I}^2+I{B}^2=8^2+8^2=64+64=128$.

   $[HB]$ est la demi-diagonale de la base : l’arête vise un sommet, il faut donc d’abord atteindre ce sommet depuis le centre. On garde 128 tel quel, sans prendre la racine.

5. 5.Déduis-en $SB$, au millimètre près.

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   $S{B}^2=S{H}^2+H{B}^2=225+128=353$, d’où $SB=\sqrt{353}\approx 18,8$ cm.

   Second triangle rectangle, $SHB$, vertical et rectangle en $H$ : la valeur exacte 128 est réutilisée telle quelle. $\sqrt{353}\approx 18,79$, soit 18,8 cm au millimètre ; on n’arrondit qu’ici.

6. 6.Compare $SB$ et $SI$. Ce résultat était-il prévisible ?

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   $SB\approx 18,8$ cm est plus long que $SI=17$ cm. C’était prévisible : le sommet $B$ est plus loin du centre $H$ que le milieu $I$ d’un côté.

   Les deux triangles ont le même côté $[SH]$ ; celui de l’arête a l’autre côté le plus long, $HB>HI$, donc la plus grande hypoténuse.