Sous quelle forme s'écrit la solution d'un système à deux inconnues ?

Un couple, noté (x ;y). — Une seule valeur n'est que la moitié du travail.

Le couple (6 ;2) vérifie-t-il 5x + y = 32 et x - y = 4 ?

Oui : les deux sont vérifiées. — 30 + 2 = 32 pour la première, 6 - 2 = 4 pour la seconde.

Le couple (3 ;1) vérifie-t-il ce même système ?

Non. — 3 - 1 = 2 et non 4 : la seconde équation tombe, donc le couple est rejeté.

Pourquoi vérifier un couple proposé plutôt que résoudre ?

Parce que c'est un point gagné en trois lignes. — Quand l'énoncé avance une réponse, on la teste : il n'y a rien à chercher.

Isole x dans la première équation.

x = 11 - y — Aucune fraction n'apparaît : c'est le signal de la substitution.

Écris l'équation obtenue après remplacement.

4(11 - y) + 3y = 38 — Les parenthèses sont écrites avant le développement, jamais après.

Résous et donne la solution du système.

(5 ;6) — 44 - 4y + 3y = 38 donne 44 - y = 38, donc y = 6, puis x = 5.

À quoi servent les parenthèses au moment de substituer ?

À faire porter l'opération sur toute l'expression remplacée. — Sans elles, seul le premier terme reçoit le coefficient, et la solution fausse n'a rien d'aberrant.

Avec +7y dans l'une et -7y dans l'autre, quelle opération élimine y ?

L'addition — Des coefficients opposés s'annulent quand on additionne.

Et avec +7y dans les deux ?

La soustraction — Additionner doublerait le terme au lieu de le supprimer.

Résous le système formé de 2x + 7y = 47 et 2x - 7y = 5.

(13 ;3) — L'addition donne 4x = 52, donc x = 13 ; puis 26 + 7y = 47 donne y = 3.

Que faire si aucun coefficient ne se prête à l'élimination ?

Multiplier l'une des équations, ou les deux, pour y parvenir. — C'est toujours possible, et c'est ce qui rend la combinaison systématique.

Que ne faut-il pas oublier en multipliant une équation ?

Son second membre : les deux membres sont multipliés. — Sinon l'égalité est rompue et le système résolu n'est plus celui de l'énoncé.

Écris la phrase qui nomme les inconnues.

Soit s le prix d'un stylo et c celui d'un cahier. — Sans elle, le système ne se rattache à rien et les points de modélisation sont perdus.

Écris les deux équations.

3s + 2c = 13 et s + 4c = 16 — Deux phrases de l'énoncé, deux égalités : chacune traduit un total.

Résous le système, puis rends une phrase-réponse.

Un stylo coûte 2 € et un cahier 3,50 €. — La seconde donne s = 16 - 4c ; en substituant : 48 - 12c + 2c = 13, donc c = 3,5.

Quel signal annonce un système dans un énoncé ?

Deux inconnues et deux informations chiffrées. — Deux paniers, deux familles, deux journées de vente : la forme est toujours la même.

« Je remplace et j'obtiens 8 - 2y + 5y à partir de 2(8 - y) + 5y. »

Le coefficient porte sur toute la parenthèse : 16 - 2y + 5y. — Le second terme a reçu le facteur, le premier l'a perdu.

« Les deux équations ont 6x, je les additionne pour éliminer x. »

Des coefficients égaux s'éliminent par soustraction. — L'addition donnerait 12x, et l'inconnue serait toujours là.

« J'ai trouvé y dans la seconde équation, je vérifie mon couple dans la seconde. »

Il faut vérifier dans la première, celle qui n'a pas servi. — Un contrôle mené là où le résultat a été calculé est vrai d'office.

Mathématiques · 3ème · Contrôle n°1

Systèmes d'équations linéaires à deux inconnues

55 minutes noté sur 205 exercices

Un contrôle de mathématiques de 55 minutes sur les systèmes en troisième : ce qu'est une solution, la substitution et la combinaison choisies à bon escient, la mise en équation qui se note à part du calcul, et la vérification dans l'équation restée de côté. Vingt points, barème détaillé, et une correction qui dit pourquoi à chaque question.

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Deux PDF à imprimer, sur papier A4. Gratuit, sans inscription.

Avant de commencer

Une solution est un couple, et il doit vérifier les deux équations en même temps.
Une inconnue s’isole sans fraction : substitution. Sinon : combinaison.
Coefficients opposés : on additionne. Coefficients égaux : on soustrait. Le signe commande.
La valeur substituée se met entre parenthèses avant d’être développée, toujours.
Multiplier une équation, c’est multiplier ses deux membres.
On vérifie dans l’équation qui n’a pas servi à conclure : elle seule peut infirmer.

Exercice 1 — Ce qu'est une solution

4 pts · 10 min

Reconnaître et vérifier une solution

Réponds à chaque question.

1.Sous quelle forme s’écrit la solution d’un système à deux inconnues ?
1 pt
Voir la correction
Un couple, noté $(x; y)$ .
Une seule valeur n’est que la moitié du travail.
2.Le couple $(6; 2)$ vérifie-t-il $5 x + y = 32$ et $x - y = 4$  ?
1 pt
Voir la correction
Oui : les deux sont vérifiées.
$30 + 2 = 32$ pour la première, $6 - 2 = 4$ pour la seconde.
3.Le couple $(3; 1)$ vérifie-t-il ce même système ?
1 pt
Voir la correction
Non.
$3 - 1 = 2$ et non 4 : la seconde équation tombe, donc le couple est rejeté.
4.Pourquoi vérifier un couple proposé plutôt que résoudre ?
1 pt
Voir la correction
Parce que c’est un point gagné en trois lignes.
Quand l’énoncé avance une réponse, on la teste : il n’y a rien à chercher.

Exercice 2 — La substitution

4 pts · 11 min

Résoudre un système par substitution

On considère le système formé de $x + y = 11$ et de $4 x + 3 y = 38$ . Réponds à chaque question.

1.Isole $x$ dans la première équation.
1 pt
Voir la correction
$x = 11 - y$
Aucune fraction n’apparaît : c’est le signal de la substitution.
2.Écris l’équation obtenue après remplacement.
1 pt
Voir la correction
$4 (11 - y) + 3 y = 38$
Les parenthèses sont écrites avant le développement, jamais après.
3.Résous et donne la solution du système.
1 pt
Voir la correction
$(5; 6)$
$44 - 4 y + 3 y = 38$ donne $44 - y = 38$ , donc $y = 6$ , puis $x = 5$ .
4.À quoi servent les parenthèses au moment de substituer ?
1 pt
Voir la correction
À faire porter l’opération sur toute l’expression remplacée.
Sans elles, seul le premier terme reçoit le coefficient, et la solution fausse n’a rien d’aberrant.

Exercice 3 — La combinaison

5 pts · 13 min

Résoudre un système par combinaison

Réponds à chaque question.

1.Avec $+ 7 y$ dans l’une et $- 7 y$ dans l’autre, quelle opération élimine $y$  ?
1 pt
Voir la correction
L’addition
Des coefficients opposés s’annulent quand on additionne.
2.Et avec $+ 7 y$ dans les deux ?
1 pt
Voir la correction
La soustraction
Additionner doublerait le terme au lieu de le supprimer.
3.Résous le système formé de $2 x + 7 y = 47$ et $2 x - 7 y = 5$ .
1 pt
Voir la correction
$(13; 3)$
L’addition donne $4 x = 52$ , donc $x = 13$  ; puis $26 + 7 y = 47$ donne $y = 3$ .
4.Que faire si aucun coefficient ne se prête à l’élimination ?
1 pt
Voir la correction
Multiplier l’une des équations, ou les deux, pour y parvenir.
C’est toujours possible, et c’est ce qui rend la combinaison systématique.
5.Que ne faut-il pas oublier en multipliant une équation ?
1 pt
Voir la correction
Son second membre : les deux membres sont multipliés.
Sinon l’égalité est rompue et le système résolu n’est plus celui de l’énoncé.

Exercice 4 — Mettre en équation

4 pts · 12 min

Traduire un problème en système

Trois stylos et deux cahiers coûtent 13 €. Un stylo et quatre cahiers coûtent 16 €. Réponds à chaque question.

1.Écris la phrase qui nomme les inconnues.
1 pt
Voir la correction
Soit $s$ le prix d’un stylo et $c$ celui d’un cahier.
Sans elle, le système ne se rattache à rien et les points de modélisation sont perdus.
2.Écris les deux équations.
1 pt
Voir la correction
$3 s + 2 c = 13$ et $s + 4 c = 16$
Deux phrases de l’énoncé, deux égalités : chacune traduit un total.
3.Résous le système, puis rends une phrase-réponse.
1 pt
Voir la correction
Un stylo coûte 2 € et un cahier 3,50 €.
La seconde donne $s = 16 - 4 c$  ; en substituant : $48 - 12 c + 2 c = 13$ , donc $c = 3, 5$ .
4.Quel signal annonce un système dans un énoncé ?
1 pt
Voir la correction
Deux inconnues et deux informations chiffrées.
Deux paniers, deux familles, deux journées de vente : la forme est toujours la même.

Exercice 5 — Trouve l'erreur

3 pts · 9 min

Repérer une erreur de méthode et la corriger

Chaque affirmation est fausse. Écris la réponse juste.

1.« Je remplace et j’obtiens $8 - 2 y + 5 y$ à partir de $2 (8 - y) + 5 y$ . »
1 pt
Voir la correction
Le coefficient porte sur toute la parenthèse : $16 - 2 y + 5 y$ .
Le second terme a reçu le facteur, le premier l’a perdu.
2.« Les deux équations ont $6 x$ , je les additionne pour éliminer $x$ . »
1 pt
Voir la correction
Des coefficients égaux s’éliminent par soustraction.
L’addition donnerait $12 x$ , et l’inconnue serait toujours là.
3.« J’ai trouvé $y$ dans la seconde équation, je vérifie mon couple dans la seconde. »
1 pt
Voir la correction
Il faut vérifier dans la première, celle qui n’a pas servi.
Un contrôle mené là où le résultat a été calculé est vrai d’office.

Barème — ce que le correcteur regarde

Les lignes chiffrées couvrent les 5 exercices et totalisent 20 points.

Ex.1La simultanéité comprise

4 points — 1 par question

Point perdu si : Un couple déclaré solution sur la foi d’une seule équation.

Ex.2La substitution menée avec parenthèses

4 points — 1 par question

Point perdu si : Une soustraction distribuée sur le premier terme seulement.

Ex.3L’opération choisie d’après les signes

5 points — 1 par question

Point perdu si : Deux équations additionnées alors que les coefficients étaient égaux.

Ex.4Les inconnues nommées avant la première équation

4 points — 1 par question

Point perdu si : Un système juste posé sans phrase : les points de modélisation sont perdus.

Ex.5L’erreur repérée, et la ligne juste écrite

3 points — 1 par ligne

Point perdu si : Une vérification faite dans l’équation qui a servi au calcul.

Et maintenant ?

16 à 20: Les systèmes sont acquis. Entraîne-toi maintenant sur les problèmes du brevet où le mot « système » n'apparaît jamais : deux paniers, deux totaux, et tout le travail est dans la mise en équation.
10 à 15: Refais l'exercice 3 en écrivant les deux signes côte à côte avant de choisir entre addition et soustraction. Ce coup d'œil supprime l'erreur entièrement.
moins de 10: Reprends la fiche de cours et retiens la forme de la réponse : un couple, écrit comme un couple, vérifié dans les deux équations de départ.

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