Théorème de Pythagore et sa réciproque

Connaître le cours

Pour chaque question, coche la seule réponse juste.

1. 1.L’hypoténuse est…

   0.5 pt
   • le côté opposé à l’angle droit
   • le plus petit des trois côtés
   • un des deux côtés de l’angle droit
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   le côté opposé à l’angle droit

   L’hypoténuse est en face de l’angle droit ; c’est aussi le plus grand des trois côtés, jamais un côté de l’angle droit.

2. 2.$XYZ$ est rectangle en $Z$. L’égalité de Pythagore s’écrit…

   0.5 pt
   • XZ² = XY² + YZ²
   • XY² = XZ² + ZY²
   • YZ² = XY² + XZ²
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   XY² = XZ² + ZY²

   L’angle droit est en $Z$ : l’hypoténuse est le côté qui ne passe pas par $Z$, c’est $[XY]$. Son carré est seul de son côté du signe égal.

3. 3.Dans un énoncé où ne figure aucun angle, lequel de ces mots signale le plus souvent le théorème de Pythagore ?

   0.5 pt
   • pourcentage
   • diagonale
   • moyenne
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   diagonale

   Une diagonale coupe un rectangle en deux triangles rectangles dont elle est l’hypoténuse. « Hauteur », « distance », « échelle contre un mur » sont d’autres signaux du cours.

4. 4.Dans un triangle dont l’angle droit est codé, on donne un angle de 35° et une seule longueur ; on cherche une autre longueur. On utilise…

   0.5 pt
   • le théorème de Pythagore
   • la réciproque du théorème de Pythagore
   • le cosinus, le sinus ou la tangente
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   le cosinus, le sinus ou la tangente

   Un angle figure dans les données : c’est le contre-signal. Le théorème de Pythagore ne relie que des longueurs ; il faut ici la trigonométrie.

5. 5.Lequel de ces triplets est un triplet pythagoricien ?

   0.5 pt
   • (4 ; 5 ; 6)
   • (8 ; 15 ; 17)
   • (2 ; 3 ; 4)
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   (8 ; 15 ; 17)

   $64+225=289$ et $17^2=289$ : l’égalité est vraie. Pour (4 ; 5 ; 6), $16+25=41$, alors que $6^2=36$.

6. 6.Un randonneur marche vers le nord, puis tourne et marche vers l’est. Dans le triangle formé avec son point de départ, où est l’angle droit ?

   0.5 pt
   • à son point de départ
   • au point où il a tourné
   • à son point d’arrivée
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   au point où il a tourné

   Le nord et l’est sont perpendiculaires : l’angle droit est là où les deux directions se rejoignent, au point où il change de direction.

7. 7.Pour obtenir la plus grande longueur qu’on peut loger dans un pavé droit, on utilise…

   0.5 pt
   • la somme des trois dimensions
   • un seul triangle rectangle, sur une face
   • deux triangles rectangles successifs
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   deux triangles rectangles successifs

   La grande diagonale n’appartient à aucune face : on calcule d’abord la diagonale de la base, puis on s’en sert dans un second triangle rectangle, vertical.

8. 8.Dans un calcul en plusieurs étapes, on arrondit…

   0.5 pt
   • à chaque étape
   • à la dernière ligne seulement
   • dès la première racine carrée
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   à la dernière ligne seulement

   Une valeur intermédiaire arrondie fausse les calculs suivants, et l’erreur grossit d’étape en étape : on garde les valeurs exactes jusqu’au bout.

Connaître le cours

Complète le texte avec les mots de la banque. Trois mots ne servent pas.

1. 1.Si $MNO$ est rectangle en $M$, le côté $[NO]$ s’appelle l’.

   0.5 pt
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   hypoténuse

   Le côté opposé à l’angle droit porte un nom : l’hypoténuse. Ici c’est $[NO]$, le seul côté qui ne passe pas par $M$.

2. 2.C’est toujours le plus des trois côtés.

   0.5 pt
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   grand

   Son carré est la somme des deux autres carrés, donc il dépasse chacun d’eux : l’hypoténuse est le plus grand côté.

3. 3.Pour calculer $NO$, on les carrés de $MN$ et de $MO$.

   0.5 pt
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   additionne

   $NO$ est l’hypoténuse et elle est cherchée : $N{O}^2=M{N}^2+M{O}^2$, on additionne.

4. 4.Pour calculer $MN$ quand $NO$ est connue, on le carré de $MO$ du carré de $NO$.

   0.5 pt
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   soustrait

   L’hypoténuse est connue et reste seule de son côté du signe égal : $M{N}^2=N{O}^2-M{O}^2$, on soustrait.

5. 5.Le théorème suppose l’angle droit connu ; pour l’établir à partir des trois longueurs, on se sert de sa .

   0.5 pt
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   réciproque

   Le théorème suppose l’angle droit ; sa réciproque l’établit, à partir des trois longueurs.

6. 6.(5 ; 12 ; 13) et son double (10 ; 24 ; 26) sont des pythagoriciens.

   0.5 pt
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   triplets

   $25+144=169$, le carré de 13 ; doubler les trois nombres multiplie les trois carrés par 4, et l’égalité reste vraie.

Calculer une longueur

Les trois triangles de la figure sont rectangles. Calcule la longueur marquée d’un point d’interrogation dans chacun. Rédige : triangle, angle droit, égalité, calcul, conclusion.

1. 1.Calcule $DF$.

   1.5 pt
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   $D{F}^2=D{E}^2+E{F}^2=12^2+35^2=144+1225=1369$, d’où $DF=\sqrt{1369}=37$ cm.

   Le triangle $DEF$ est rectangle en $E$ ; $[DF]$ est opposé à l’angle droit : c’est l’hypoténuse, et elle est cherchée, donc on additionne. 0,5 point pour l’égalité, 0,5 pour le calcul, 0,5 pour la conclusion avec l’unité.

2. 2.Calcule $LM$.

   1.5 pt
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   $K{L}^2=K{M}^2+L{M}^2$, d’où $L{M}^2=53^2-28^2=2809-784=2025$ et $LM=\sqrt{2025}=45$ cm.

   Le triangle $KLM$ est rectangle en $M$ ; l’hypoténuse est $[KL]$, opposée à $M$ ; elle est connue, donc on soustrait. Additionner donnerait un côté plus long que l’hypoténuse, ce qui est impossible.

3. 3.Calcule $QR$ : valeur exacte, puis arrondi au dixième.

   1.5 pt
   Voir la correction

   $Q{R}^2=P{Q}^2+P{R}^2=4^2+6^2=16+36=52$, d’où $QR=\sqrt{52}$ cm $\approx 7,2$ cm.

   Le triangle $PQR$ est rectangle en $P$ ; hypoténuse cherchée : on additionne. 52 n’est pas le carré d’un entier : on écrit d’abord $\sqrt{52}$, valeur exacte, et l’on n’arrondit qu’à la fin ($\sqrt{52}\approx 7,21$).

Démontrer un angle droit

Le triangle $GHI$ a pour côtés $GH=33$ mm, $HI=56$ mm et $GI=65$ mm. Réponds aux questions a à c, puis traite le triangle $UVW$ de la question d.

1. 1.Parmi $[GH]$, $[HI]$ et $[GI]$, lequel est le seul candidat à l’hypoténuse ?

   0.5 pt
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   $[GI]$, qui mesure 65 mm.

   On range les trois longueurs : 33 < 56 < 65. Seul le plus grand côté peut être l’hypoténuse : c’est lui qu’on isole.

2. 2.Calcule séparément $G{I}^2$, puis $G{H}^2+H{I}^2$.

   1 pt
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   $G{I}^2=65^2=4225$ ; $G{H}^2+H{I}^2=33^2+56^2=1089+3136=4225$.

   On calcule les deux nombres sans les relier par un signe égal : ce n’est qu’après le calcul qu’on peut dire s’ils sont égaux. 0,5 point par nombre.

3. 3.Conclus, en nommant le sommet de l’angle droit.

   1 pt
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   Les deux nombres sont égaux : d’après la réciproque du théorème de Pythagore, $GHI$ est rectangle en $H$.

   L’angle droit est en face du plus grand côté $[GI]$ : c’est le sommet $H$, le seul qui n’appartient pas à $[GI]$.

4. 4.$UV=6$ cm, $VW=9$ cm et $UW=11$ cm : $UVW$ est-il rectangle ?

   1 pt
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   Non : $U{W}^2=121$, mais $U{V}^2+V{W}^2=36+81=117$ ; $121\ne 117$.

   Si $UVW$ était rectangle, son plus grand côté $[UW]$ serait l’hypoténuse et le théorème de Pythagore donnerait l’égalité ; or 121 et 117 diffèrent.

Résoudre un problème

Une échelle de 3 m est appuyée contre un mur vertical, sur un sol horizontal. Son pied $B$ est à 1,8 m du pied $P$ du mur, et son sommet touche le mur en $E$. Observe le document 1, puis réponds.

1. 1.Quels mots de l’énoncé placent l’angle droit de $BPE$, et en quel point ?

   1 pt
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   En $P$ : le mur est vertical et le sol horizontal, ils sont donc perpendiculaires au pied du mur.

   L’angle droit n’est pas codé : ce sont les mots « vertical » et « horizontal » qui le placent.

2. 2.Quel côté du triangle $BPE$ l’échelle représente-t-elle ?

   0.5 pt
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   L’hypoténuse $[BE]$.

   $[BE]$ est le côté opposé à l’angle droit en $P$ : l’échelle est l’hypoténuse du triangle.

3. 3.Pour calculer la hauteur $PE$ atteinte par l’échelle, quelle opération fais-tu sur les carrés ? Pourquoi ?

   0.5 pt
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   Une soustraction, car l’échelle $[BE]$ est connue : $P{E}^2=B{E}^2-B{P}^2$.

   La longueur cherchée est un côté de l’angle droit ; l’hypoténuse, connue, reste seule de son côté du signe égal.

4. 4.Calcule la hauteur $PE$.

   1.5 pt
   Voir la correction

   $P{E}^2=3^2-1,8^2=9-3,24=5,76$, d’où $PE=\sqrt{5,76}=2,4$ m.

   (1,8 ; 2,4 ; 3) est le triplet (3 ; 4 ; 5) multiplié par 0,6. 0,5 point pour l’égalité, 0,5 pour le calcul, 0,5 pour la conclusion.

5. 5.Un camarade trouve $PE=3,5$ m. Sans refaire le calcul, explique pourquoi c’est impossible.

   1 pt
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   Un côté de l’angle droit est plus court que l’hypoténuse : la hauteur ne peut pas dépasser 3 m.

   Il a sans doute additionné : $9+3,24=12,24$, et $\sqrt{12,24}\approx 3,5$. Comparer le résultat à l’hypoténuse détecte l’erreur sans calcul.

6. 6.Le pied de l’échelle glisse et se retrouve à 2,4 m du mur. Sans nouveau calcul, à quelle hauteur arrive maintenant le sommet de l’échelle ? Justifie.

   0.5 pt
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   À 1,8 m : mêmes longueurs, les deux côtés de l’angle droit échangent leur place.

   $3^2-2,4^2=9-5,76=3,24$, qui est le carré de 1,8 : c’est le même triplet, lu dans l’autre sens.