Puissances entières relatives et notation scientifique

Calculer avec les puissances

Écris chaque expression sous la forme d’une seule puissance, puis donne sa valeur quand elle est demandée. Écris le calcul sur les exposants.

1. 1.$\frac{10^4\times 10^{-7}}{10^2}$

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   $10^{-5}$

   Au numérateur, $4+(-7)=-3$ ; puis le quotient : $-3-2=-5$. 0,5 point pour chaque étape sur les exposants.

2. 2.$(2^{-3}{)}^2\times 2^9$, puis sa valeur

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   $2^3=8$

   Puissance de puissance : $-3\times 2=-6$ ; puis le produit : $-6+9=3$, et $2^3$ vaut 8.

3. 3.$\frac{7^5}{7^8}$, puis sa valeur sous forme de fraction

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   $7^{-3}=\frac{1}{343}$

   $5-8=-3$, et un exposant négatif donne l’inverse : $7^{-3}=\frac{1}{7^3}$, avec $7^3=343$.

4. 4.$\frac{6^3\times 6^{-5}}{6^{-4}}$, puis sa valeur

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   $6^2=36$

   Au numérateur, $3+(-5)=-2$ ; puis $-2-(-4)=2$ : soustraire un exposant négatif revient à l’ajouter.

Calculer en notation scientifique

Calcule et donne chaque résultat en notation scientifique. Sépare les nombres de devant et les puissances de 10, puis contrôle le résultat.

1. 1.$(4\times 10^5)\times (6\times 10^{-2})$

   1.5 pt
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   $2,4\times 10^4$

   $4\times 6=24$ et $5+(-2)=3$, d’où $24\times 10^3$ ; 24 dépasse 10, on écrit $24=2,4\times 10$ et l’exposant passe à 4.

2. 2.$\frac{9\times 10^3}{3\times 10^{-4}}$

   1.5 pt
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   $3\times 10^7$

   $9:3=3$ et $3-(-4)=7$. Le nombre de devant, 3, est déjà entre 1 et 10 : rien à réajuster.

3. 3.$\frac{1,2\times 10^{-3}\times 5\times 10^8}{4\times 10^2}$

   1.5 pt
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   $1,5\times 10^3$

   Nombres : $1,2\times 5=6$, puis $6:4=1,5$. Puissances : $-3+8=5$, puis $5-2=3$. Le résultat vaut 1 500.

Comparer et ranger

On donne cinq nombres : $A=3,1\times 10^{-2}$ ; $B=8\times 10^{-3}$ ; $C=27\times 10^{-3}$ ; $D=0,05$ ; $E=9,6\times 10^{-3}$.

1. 1.Écris $C$ et $D$ en notation scientifique.

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   $C=2,7\times 10^{-2}$ et $D=5\times 10^{-2}$.

   27 n’est pas entre 1 et 10 : $27=2,7\times 10$, et $-3+1=-2$. Pour 0,05, la virgule avance de deux rangs.

2. 2.Range $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ du plus petit au plus grand.

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   $B<E<C<A<D$

   Exposant $-3$ pour $B$ et $E$, plus petits que les trois autres d’exposant $-2$. Puis 8 < 9,6 d’un côté, 2,7 < 3,1 < 5 de l’autre.

3. 3.Quel ordre de grandeur partagent $A$, $C$ et $D$ ? Qu’est-ce qui a permis de les départager ?

   1 pt
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   $10^{-2}$ ; leurs nombres de devant, 3,1, 2,7 et 5.

   À exposant égal, l’ordre de grandeur ne suffit plus : la comparaison se fait sur le nombre de devant, et sur lui seul.

Calculer avec les puissances

Réponds à chaque question en écrivant le calcul.

1. 1.Écris $2\times 10^6+5\times 10^5$ en notation scientifique. Indice : écris d’abord le premier terme avec $10^5$.

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   $2,5\times 10^6$

   $2\times 10^6=20\times 10^5$ ; la somme vaut $25\times 10^5$, que l’on réajuste en $2,5\times 10^6$. En décimal : 2 000 000 + 500 000 = 2 500 000.

2. 2.Un élève écrit $10^3+10^3=10^6$. A-t-il raison ? Justifie par un calcul.

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   Non : la somme vaut $2\times 10^3$, soit 2 000, et non 1 000 000.

   Il a appliqué la règle du produit à une addition. $10^3\times 10^3$ vaudrait bien $10^6$ ; la somme, elle, double seulement 1 000.

Exploiter des données

Lis le document 1, puis réponds. Chaque calcul se mène en notation scientifique, et chaque réponse se conclut par une phrase avec l’unité.

1. 1.Convertis les données des lignes 3 et 4 — le nombre de levures du flacon, puis le diamètre d’une levure — sous la forme $a\times 10^n$.

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   $2,5\times 10^8$ levures ; $4\times 10^{-6}$ m.

   250 millions, c’est $250\times 10^6$, soit $2,5\times 10^8$. Pour 0,000004, la virgule avance de six rangs : exposant $-6$. 0,5 point pour le second.

2. 2.Si l’on alignait toutes les levures du flacon, l’une contre l’autre, quelle longueur obtiendrait-on ? Donne-la en mètres, puis en kilomètres.

   1.5 pt
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   $1\times 10^3$ m, soit 1 km.

   Longueur = nombre × diamètre : $2,5\times 4=10$ et $8+(-6)=2$, d’où $10\times 10^2=1\times 10^3$ m. Des cellules invisibles à l’œil font un kilomètre bout à bout.

3. 3.Quel diamètre apparent une levure a-t-elle au microscope ? Donne-le en mètres, puis en millimètres.

   1.5 pt
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   $1,6\times 10^{-3}$ m, soit 1,6 mm.

   400 s’écrit $4\times 10^2$ ; $4\times 4=16$ et $-6+2=-4$, d’où $16\times 10^{-4}$, réajusté en $1,6\times 10^{-3}$ m. Un millième de mètre est un millimètre.

4. 4.Combien de levures un litre de cette culture contient-il ?

   1.5 pt
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   $1,25\times 10^{10}$ levures.

   0,02 L s’écrit $2\times 10^{-2}$ L. Levures par litre = $\frac{2,5\times 10^8}{2\times 10^{-2}}$ : $2,5:2=1,25$ et $8-(-2)=10$.