Théorème de Pythagore et sa réciproque

Repérer et corriger une erreur

La copie du document 1 (figure de la question 1 : document 2) contient quatre erreurs de raisonnement. Pour chacune, indique les lignes, explique l’erreur et écris la réponse juste, calcul compris.

Réponse rédigée. Ce que le correcteur attend, critère par critère :

1. 1.Ligne 1 — une conclusion tirée du dessin.

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   Le dessin ne démontre pas. $B{C}^2=121$ et $A{B}^2+A{C}^2=49+64=113$ : $121\ne 113$, donc $ABC$ n’est pas rectangle.

   Seule la réciproque, menée sur le plus grand côté $[BC]$, tranche. L’angle en $A$ a l’air droit et ne l’est pas : l’œil ne fait pas la différence, le calcul si. 0,5 point pour l’erreur repérée, 0,5 pour la correction calculée.

2. 2.Ligne 3 — la bonne égalité, la mauvaise lettre.

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   Les calculs sont justes, mais l’angle droit fait face au plus grand côté $[FG]$ : $EFG$ est rectangle en $E$, non en $F$.

   $F$ est une extrémité de l’hypoténuse $[FG]$ : l’angle droit ne peut pas s’y trouver. Son sommet est le seul qui n’appartient pas au plus grand côté.

3. 3.Ligne 4 — l’arête calculée avec le triangle de l’apothème.

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   C’est l’apothème (5 cm), pas l’arête. Demi-diagonale : $4^2+4^2=32$ ; puis $S{A}^2=32+3^2=41$, d’où $SA=\sqrt{41}\approx 6,4$ cm.

   L’apothème vise le milieu d’un côté, l’arête un sommet : deux cibles, deux triangles. L’arête demande deux triangles rectangles successifs.

4. 4.Lignes 5 et 6 — un arrondi en cours de calcul, qui inverse la conclusion.

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   Garder $d^2=3400$ : $D^2=3400+1600=5000$, d’où $D=\sqrt{5000}\approx 70,7$ cm ; 70,7 cm dépasse 70,6 cm, la tige tient.

   En arrondissant $d$ à 58 cm, l’élève perd près d’un tiers de centimètre, assez pour faire passer la diagonale sous 70,6 cm. On n’arrondit qu’à la dernière ligne.

Argumenter et justifier

Pour chaque affirmation, réponds par vrai ou faux, puis justifie : par une démonstration si elle est vraie, par un contre-exemple ou un argument si elle est fausse.

1. 1.« Si l’on multiplie par 3 les trois côtés d’un triangle rectangle, on obtient encore un triangle rectangle. »

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   Vrai. Si $a^2+b^2=c^2$, alors $(3a{)}^2+(3b{)}^2=9a^2+9b^2=9c^2=(3c{)}^2$ : l’égalité reste vraie, et d’après la réciproque le nouveau triangle est rectangle.

   Multiplier les trois côtés par $k$ multiplie les trois carrés par $k^2$ : c’est pourquoi les multiples d’un triplet pythagoricien en sont aussi.

2. 2.« L’hypoténuse d’un triangle rectangle n’est pas toujours son plus long côté. »

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   Faux. Si $ABC$ est rectangle en $A$, $B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2$ ; comme $A{C}^2$ est positif, $B{C}^2>A{B}^2$, donc $BC>AB$. De même, $BC>AC$.

   L’hypoténuse est le plus grand côté : c’est ce qui permet de repérer un résultat invraisemblable et de choisir le bon côté dans une réciproque.

3. 3.« Si, dans un triangle, le carré du plus grand côté n’est pas égal à la somme des carrés des deux autres, ce triangle n’est pas rectangle. »

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   Vrai. S’il était rectangle, son plus grand côté serait l’hypoténuse et le théorème de Pythagore donnerait l’égalité. Puisqu’elle est fausse, le triangle n’est pas rectangle.

   C’est ce raisonnement qui permet de conclure « pas rectangle » quand la comparaison échoue : l’égalité fausse exclut l’angle droit.

4. 4.« Quand on connaît l’hypoténuse et un côté de l’angle droit, on obtient l’autre côté en soustrayant les deux longueurs. »

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   Faux. On soustrait les carrés, pas les longueurs. Contre-exemple : hypoténuse 5 et côté 4 ; $5-4=1$, alors que l’autre côté vaut $\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3$.

   Le triangle (3 ; 4 ; 5) suffit à réfuter l’affirmation : le théorème porte sur les carrés des longueurs, et soustraire les longueurs donne 1 au lieu de 3.

5. 5.« Connaissant deux côtés d’un triangle rectangle, on peut en déterminer le troisième côté et chacun des angles aigus. »

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   Vrai. Le théorème de Pythagore donne le troisième côté, puis le cosinus, le sinus ou la tangente donnent chaque angle aigu, puisque deux côtés vus depuis cet angle sont connus.

   C’est l’enchaînement le plus fréquent au brevet : Pythagore pour la longueur manquante, puis la trigonométrie pour l’angle. Avec un seul côté connu, en revanche, Pythagore ne suffirait pas.

Résoudre un problème à étapes

Un centre de loisirs installe une tyrolienne (document 3). Le câble est tendu entre le sommet $T$ d’un poteau de 9 m et un point $A$ du sol situé à 40 m du pied $P$ du poteau. Le sol est horizontal. Rédige chaque réponse : triangle utilisé, angle droit, calcul, conclusion.

1. 1.Pour contrôler que le poteau est vertical, un technicien marque le point $N$ du poteau à 1,2 m du sol et le point $M$ du sol à 1,6 m du pied $P$ ; il mesure $NM=2$ m. Démontre que le poteau est perpendiculaire au sol.

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   $N{M}^2=4$ et $P{N}^2+P{M}^2=1,2^2+1,6^2=1,44+2,56=4$ : d’après la réciproque, $PNM$ est rectangle en $P$ ; le poteau est perpendiculaire au sol.

   Le plus grand côté de $PNM$ est $[NM]$. Sans cette étape, rien ne permet d’affirmer que l’angle en $P$ est droit : le schéma ne prouve rien. C’est la réciproque qui autorise ensuite le théorème.

2. 2.Combien mesure le câble $[TA]$ ?

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   $T{A}^2=T{P}^2+P{A}^2=9^2+40^2=81+1600=1681$, d’où $TA=41$ m.

   D’après la question a, $TPA$ est rectangle en $P$. Le câble est opposé à l’angle droit en $P$ : c’est l’hypoténuse, cherchée, donc on additionne. La racine tombe juste : (9 ; 40 ; 41) est un triplet pythagoricien.

3. 3.Le centre dispose de 45 m de câble ; il faut en prévoir 2 m à chaque extrémité pour les fixations. Le stock suffit-il ?

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   Il faut $41+2+2=45$ m de câble : le stock suffit, tout juste.

   Les fixations s’ajoutent aux deux extrémités, soit 4 m en plus des 41 m tendus. La marge est nulle : seule la valeur exacte de $TA$ permet de conclure.

4. 4.Par sécurité, l’angle $\widehat{TAP}$ entre le câble et le sol doit être inférieur à 15°. Cette condition est-elle respectée ?

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   $\tan \widehat{TAP}=\frac{TP}{PA}=\frac{9}{40}=0,225$, d’où $\widehat{TAP}\approx 12,7$°, moins que 15° : la condition est respectée.

   Dans $TPA$, rectangle en $P$, vu de $A$ : un angle est demandé, on change d’outil. Côté opposé et côté adjacent sont donnés par l’énoncé, la tangente évite de dépendre du calcul de $TA$.

5. 5.On envisage un câble tendu de 50 m, toujours fixé en $T$, jusqu’à un point $B$ du sol. À quelle distance du pied $P$ faut-il placer $B$ ? Arrondis au décimètre.

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   $P{B}^2=T{B}^2-T{P}^2=50^2-9^2=2500-81=2419$, d’où $PB=\sqrt{2419}\approx 49,2$ m.

   $TPB$ est rectangle en $P$, d’hypoténuse $[TB]$. Cette fois l’hypoténuse est connue et l’on cherche un côté de l’angle droit : on soustrait. $\sqrt{2419}\approx 49,18$, soit 49,2 m au décimètre.

Raisonner dans l'espace

Un menuisier fabrique un placard en forme de pavé droit $ABCDEFGH$, de base 1,2 m sur 0,9 m. Il veut pouvoir y ranger une tringle rigide de 2,5 m, posée selon la diagonale $[AG]$. Il cherche la hauteur $h=CG$ du placard.

1. 1.Que mesure $AC$ ?

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   $A{C}^2=A{B}^2+B{C}^2=1,2^2+0,9^2=1,44+0,81=2,25$, d’où $AC=1,5$ m.

   $ABC$ est rectangle en $B$, sommet du rectangle de base. C’est le premier des deux triangles rectangles, dans la base. (0,9 ; 1,2 ; 1,5) est le triplet (3 ; 4 ; 5) multiplié par 0,3.

2. 2.Calcule la hauteur $h$ pour que la tringle tienne exactement selon $[AG]$. Justifie l’angle droit utilisé.

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   $ACG$ est rectangle en $C$ ; $C{G}^2=A{G}^2-A{C}^2=2,5^2-1,5^2=6,25-2,25=4$, d’où $h=2$ m.

   L’arête $[CG]$ est perpendiculaire au plan de la base, donc à $(AC)$ : l’angle droit est en $C$. Second triangle, vertical : la tringle en est l’hypoténuse, connue, donc on soustrait. Le calcul habituel est retourné : on additionne dans la base, puis on soustrait.

3. 3.Une cliente préfère un placard à base carrée de 1 m de côté et de 2 m de haut. La tringle de 2,5 m y tient-elle ? Garde les valeurs exactes jusqu’à la fin.

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   $d^2=1^2+1^2=2$ ; $D^2=2+2^2=6$, d’où $D=\sqrt{6}\approx 2,45$ m, moins que 2,5 m : la tringle ne tient pas.

   Deux triangles rectangles successifs, comme dans tout pavé. La valeur exacte 2 est réutilisée telle quelle ; $\sqrt{6}\approx 2,449$, soit environ 5 cm de moins que la tringle.